标签：泰勒 高等数学 函数 导数 定理 证明 例题

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第 3 讲 导数

文章目录

• 第 3 讲 导数
• • 3.1 导数的定义
  • 3.2 初等函数的导数
  • 3.3 反函数的导数
  • 3.4 复合函数的导数
  • 3.5 泰勒展开
  • 3.6 罗尔定理
  • 3.7 微分中值定理
  • 3.8 柯西中值定理
  • 3.9 洛必达法则
  • 3.10 泰勒展开的证明

3.1 导数的定义

• 【特殊情况说明】处处连续但是不可导

外尔斯特拉斯函数

图像如下：

3.2 初等函数的导数

【证明】 s i n ′ x = c o s x sin'x=cosx sin′x=cosx

【证明】 ( x n ) ′ = n x n − 1 ( n ≠ 0 ) {(x^n)'=nx^{n-1}}\quad(n\neq0) (xn)′=nxn−1(n​=0)

【证明】 ( e x ) ′ = e x (e^x)'=e^x (ex)′=ex

3.3 反函数的导数

【例题】求 a r c s i n ′ x arcsin'x arcsin′x

推出：

【例题】求 a r c t a n ′ x arctan'x arctan′x

【证明】 l n ′ x = 1 x ln'x=\dfrac{1}{x} ln′x=x1​

!> 所有初等函数

3.4 复合函数的导数

证明：

【例题】

【例题】

3.5 泰勒展开

3.6 罗尔定理

3.7 微分中值定理

证明：（线性修正）

3.8 柯西中值定理

【证明】

3.9 洛必达法则

0 0 ∞ ∞ \dfrac{0}{0}\qquad\dfrac{\infty}{\infty} 00​∞∞​

3.10 泰勒展开的证明

数学归纳法

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