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照相机模型与增强现实
一 、针孔照相机模型
针孔照相机模型（有时称为射影照相机模型）是计算机视觉中广泛使用的照相机模型。对于大多数应用来说，针孔照相机模型简单，并且具有足够的精准度。这个名字来源于一种类似暗箱机的照相机。该照相机从一个小孔采集射到暗箱内部的光线。在光线投影到图像平面之前，从唯一一个点经过，也就是照相机中心C。
由图像坐标轴和三维坐标系中的x轴和y轴对齐平行的假设，我们可以得出针孔照相机的投影性质。照相机的光学坐标轴和z轴一致，该投影几何一颗简化成相似三角形。在投影之前通过旋转和平移变换，对该坐标系加入三维点，会出现完整的投影变换。
在针孔照相机中，三维点X投影为图像点x（两个点都是用齐次坐标表示的），如下所示：
这里，3×4的矩阵P为照相机矩阵（或投影矩阵）。注意，在齐次坐标系中，三维点X的坐标由4个元素组成，X=[X,Y,Z,W]。这里的标量λ是三维点的逆深度。如果我们打算在齐次坐标中将最后一个数值归一化为1，那么就会使用到它。
1.1 照相机矩阵
照相机矩阵可以分解为：
其中，R是描述照相机方向的旋转矩阵，t是描述照相机中心位置的三维平移向量，内标定矩阵K描述照相机的投影性质。
标定矩阵仅和照相机自身的情况相关，通常情况下可以写成：
图像平面和照相机中心间的距离为焦距f。当像素数组在传感器上偏斜的时候，需要用到倾斜参数s。在大多数情况下，s可以设置成0.也就是说：
这里，我们使用了另外的记号fx和fy，两者关系为fx=αfy。
纵横比例参数α是在像素元素非正方形的情况下使用的。通常情况下，我们还可以默认设置α=1.经过这些假设，标定矩阵变为：
除焦距之外，标定矩阵中剩余的唯一参数为光心（有时称为主点）的坐标c=[cx,cy]，也就是光线坐标轴和图像平面的交点。因为光心通常在图像的中心，并且图像的坐标是从左上角开始计算的，所以光心的坐标常接近于图像宽度和高度的一半。特别强调一点，这这个例子中，唯一未知的变量是焦距f。
1.2 三维点的投影
下面来创建照相机类，用来处理我们对照相机和投影建模所需要的全部操作：
from scipy import linalg
from pylab import *
class Camera(object):
"""表示针孔照相机的类"""
def __init__(self, P):
"""初始化 P = K[R|t] 照相机模型"""
self.P = P
self.K = None # 标定矩阵
self.R = None # 旋转
self.t = None # 平移
self.c = None # 照相机中心
def project(self, X):
"""X（4×n的数组）的投影点，并进行坐标归一化"""
x = dot(self.P, X)
for i in range(3):
x[i] /= x[2]
return x
def rotation_matrix(a):
"""创建一个用于围绕向量a轴旋转的三维旋转矩阵"""
R = eye(4)
R[:3,:3] = linalg.expm([0,-a[2],a[1]],[a[2],0,-a[0]],[-a[1],a[0],0])
return R
1.3 照相机矩阵的分解
如果给定方程（1.1节中）所示的照相机矩阵P，我们需要恢复内参数K以及照相机的位置t和姿势R。矩阵分块操作称为因子分解。这里，我们将使用一种矩阵因子分解的方法，称为RQ因子分解。
将下面的方法添加到Carmera类中：
def factor(self):
"""将照相机矩阵分解为 K,R,t,其中, R=K[R|t]"""
# 分解前3×3的部分
K,R = linalg.rq(self.P[:,:3])
# 将K的对角线元素设为正值
T = diag(sign(diag(K)))
if linalg.det(T) < 0:
T[1,1] *= -1
self.K = dot(K,T)
self.R = dot(T,R) # T的逆矩阵为其自身
self.t = dot(linalg.inv(self.K), self.P[:,3])
return self.K, self.R, self.t
RQ因子分解的结果并不是唯一的。在该因子分解中，分解的结果存在符号二义性。由于我们需要限制旋转矩阵R为正定的（否则，旋转坐标轴即可），所以如果需要，我们可以在求解到的结果中加入变换T来改变符号。
在示例照相机上运行下面的代码，观察照相机矩阵分解的效果：
if __name__=='__main__':
K = array([[1000,0,500],[0,1000,300],[0,0,1]])
tmp = Camera.rotation_matrix([0,0,1])[:3,:3]
Rt = hstack((tmp,array([[50],[40],[30]])))
cam = Camera(dot(K,Rt))
print(K,Rt)
print(cam.factor())
1.4 照相机中心
给定照相机投影矩阵P，我们可以计算出空间上照相机的所在位置。照相机的中心C，是一个三维点，满足约束PC=0。对于投影矩阵为P=K[R|t]的照相机，有：
照相机的中心可以由下述式子来计算：
注意，如预期一样，照相机的中心和内标定矩阵K无关。
下面的代码可以按照上面公式计算照相机的中心。将其添加到Camera类中，该方法会返回照相机的中心：
def center(self):
"""计算并返回照相机的中心"""
if self.c is not None:
return self.c
else:
# 通过因子分解计算c
self.factor()
self.c = -dot(self.R.T, self.t)
return self.c
二、照相机标定
标定照相机是指计算出该照相机的内参数。在我们的例子里，是指计算矩阵K。如果你的应用要求高精度，那么可以扩展该照相机模型，使其包含径向畸变和其他条件。对于大多数应用来说，我们在1.1节中s=0的K公式中的简单照相机模型已经足够。标定照相机的标准方法，拍摄多幅平面期盼模型的图像，然后进行处理计算。
标签：Python,投影,self,编程,矩阵,标定,--,分解,照相机 来源： https://blog.csdn.net/fishbb0406/article/details/117173084
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