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Tarjan算法【阅读笔记】

2019-06-22 16:44:57 阅读：228 来源： 互联网

标签：Tarjan int 连通笔记 ++ 算法 dfn low 节点

应用：线性时间内求出无向图的割点与桥，双连通分量。有向图的强连通分量，必经点和必经边。

主要是求两个东西，dfn和low

时间戳dfn：就是dfs序，也就是每个节点在dfs遍历的过程中第一次被访问的时间顺序。

追溯值low：$low[x]$定义为$min(dfn[subtree(x)中的节点], dfn[通过1条不再搜索树上的边能到达subtree(x)的节点]）$，其中$subtree(x)$是搜索树中以$x$为根的节点。

其实这个值表示的就是这个点所在子树的最先被访问到的节点，作为这个子树的根。

搜索树：在无向连通图中任选一个节点出发进行深度搜索遍历，每个点只访问一次，所有发生递归的边$(x,y)$构成一棵树，称为无向连通图的搜索树。

low计算方法：

先令$low[x] = dfn[x]$，考虑从$x$出发的每条边$(x,y)$

若在搜索树上$x$是$y$的父节点，令$low[x]=min(low[x], low[y])$

若无向边$(x,y)$不是搜索树上的边，则令$low[x] = min(low[x], dfn[y])$

割边判定法则：

无向边$(x,y)$是桥，当且仅当搜索树上存在$x$的一个子节点$y$，满足：$dfn[x] < low[y]$

这说明从$subtree(y)$出发，在不经过$(x,y)$的前提下，不管走哪条边都无法到达$x$或比$x$更早访问的节点。若把$(x,y)$删除，$subtree(y)$就形成了一个封闭的环境。

桥一定是搜索树中的边，并且一个简单环中的边一定不是桥。

 1 void tarjan(int x, int in_edge)
 2 {
 3     dfn[x] = low[x] = ++num;
 4     int flag = 0;
 5     for(int i = head[x]; i; i = Next[i]){
 6         int y = ver[i];
 7         if(!dfn[y]){
 8             tarjan(y);
 9             low[x] = min(low[x], low[y]);
10             if(low[y] > dfn[x]){
11                 bridge[i] = bridge[i ^ 1] = true;
12             }
13         }
14         else if(i != (in_edge ^ 1)) 
15             low[x] = min(low[x], dfn[y]);
16     }
17 }
18 
19 int main()
20 {
21     cin>>n>>m;
22     tot = 1;
23     for(int i = 1; i <= m; i++){
24         int x, y;
25         scanf("%d%d", &x, &y);
26         if(x == y)continue;
27         add(x, y);
28         add(y, x);
29     }
30     for(int i = 1; i <= n; i++){
31         if(!dfn[i]){
32             tarjan(i, 0);
33         }
34     }
35     for(int i = 2; i < tot; i += 2){
36         if(bridge[i])
37             printf("%d %d\n", ver[i ^ 1], ver[i]);
38     }
39 }

割点判定法则：

若$x$不是搜索树的根节点，则$x$是割点当且仅当搜索树上存在$x$的一个子节点$y$，满足：$dfn[x]\leq low[y]$

特别地，若$x$是搜索树地根节点，则$x$是割点当且仅当搜索树上存在至少两个子节点$y_1,y_2$满足上述条件。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstdlib>
 3 #include<map>
 4 #include<set>
 5 #include<cstring>
 6 #include<algorithm>
 7 #include<vector>
 8 #include<cmath> 
 9 #include<stack>
10 #include<queue>
11 #include<iostream>
12 
13 #define inf 0x7fffffff
14 using namespace std;
15 typedef long long LL;
16 typedef pair<int, int> pr;
17 
18 const int SIZE = 100010;
19 int head[SIZE], ver[SIZE * 2], Next[SIZE * 2];
20 int dfn[SIZE], low[SIZE], n, m, tot, num;
21 bool bridge[SIZE * 2];
22 
23 void add(int x, int y)
24 {
25     ver[++tot] = y, Next[tot] = head[x], head[x] = tot;
26 }
27 
28 void tarjan(int x)
29 {
30     dfn[x] = low[x] = ++num;
31     int flag = 0;
32     for(int i = head[x]; i; i = Next[i]){
33         int y = ver[i];
34         if(!dfn[y]){
35             tarjan(y);
36             low[x] = min(low[x], low[y]);
37             if(low[y] >= dfn[x]){
38                 flag++;
39                 if(x != root || flag > 1)cut[x] = true;
40             }
41         }
42         else low[x] = min(low[x], dfn[y]);
43     }
44 }
45 
46 int main()
47 {
48     cin>>n>>m;
49     tot = 1;
50     for(int i = 1; i <= m; i++){
51         int x, y;
52         scanf("%d%d", &x, &y);
53         if(x == y)continue;
54         add(x, y);
55         add(y, x);
56     }
57     for(int i = 1; i <= n; i++){
58         if(!dfn[i]){
59             root = i;
60             tarjan(i);
61         }
62     }
63     for(int i = 1; i <= n; i++){
64         if(cut[i])printf("%d", i);
65     }
66     puts("are cut-vertexes");
67 }

双连通分量

若一张无向连通图不存在割点，则称它为“点双连通图”。若一张无向连通图不存在桥，则称他为“边双连通图”。

无向图的极大点双连通子图被称为“点双连通分量”，简记为v-DCC。无向连通图的极大边双连通子图被称为“边双连通分量”，简记为e-DCC。

定理1一张无向连通图是点双连通图，当且仅当满足下列两个条件之一：

1.图的顶点数不超过2.

2.图中任意两点都同时包含在至少一个简单环中。

定理2一张无向连通图是边双连通图，当且仅当任意一条边都包含在至少一个简单环中。

边双连通分量求法

求出无向图中所有的桥，删除桥后，每个连通块就是一个边双连通分量。

用Tarjan标记所有的桥边，然后对整个无向图执行一次深度优先遍历（不访问桥边），划分出每个连通块。

 1 int c[SIZE], dcc;
 2 
 3 void dfs(int x){
 4     c[x] = dcc;
 5     for(int i = head[x]; i; i = Next[i]){
 6         int y = ver[i];
 7         if(c[y] || bridge[i])continue;
 8         dfs(y);
 9     }
10 }
11 
12 //main()
13 for(int i = 1; i <= n; i++){
14     if(!c[i]){
15         ++dcc;
16         dfs(i);
17     }
18 }
19 printf("There are %d e-DCCs.\n", dcc);
20 for(int i = 1; i <= n; i++){
21     printf("%d belongs to DCC %d.\n", i, c[i]);
22 }

e-DCC的缩点

把e-DCC收缩为一个节点，构成一个新的树，存储在另一个邻接表中。

 1 int hc[SIZE], vc[SIZE * 2], nc[SIZE * 2], tc;
 2 void add_c(int x, int y){
 3     vc[++tc] = y;
 4     nc[tc] = hc[x];
 5     hc[x] = tc;
 6 }
 7 
 8 //main()
 9 tc = 1;
10 for(int i = 2; i <= tot; i++){
11     int x = ver[i ^ 1];
12     y = ver[i];
13     if(c[x] == c[y])continue;
14     add_c(c[x], c[y]);
15 }
16 printf("缩点之后的森林， 点数%d, 边数%d(可能有重边)\n", dcc, tc / 2);
17 for(int i = 2; i < tc; i++){
18     printf("%d %d\n", vc[i ^ 1], vc[i]);
19 }

点双连通分量的求法

桥不属于任何e-DCC，割点可能属于多个v-DCC

在Tarjan算法过程中维护一个栈，按照如下方法维护栈中的元素：

1.当一个节点第一次被访问时，该节点入栈。

2.当割点判定方法则中的条件$dfn[x]\leq low[y]$成立时，无论$x$是否为根，都要：

　　（1）从栈顶不断弹出节点，直至节点$y$被弹出

　　（2）刚才弹出的所有节点与节点$x$一起构成一个v-DCC

 1 void tarjan(int x){
 2     dfn[x] = low[x] = ++num;
 3     stack[++top] = x;
 4     iff(x == root && head[x] == 0){
 5         dcc[++cnt].push_back(x);
 6         return;
 7     }
 8     int flag = 0;
 9     for(int i = head[x]; i; i = Next[i]){
10         int y = ver[i];
11         if(!dfn[y]){
12             tarjan(y);
13             low[x] = min(low[x], low[y]);
14             if(low[y] >= dfn[x]){
15                 flag++;
16                 if(x != root || flag > 1)cut[x] = true;
17                 cnt++;
18                 int z;
19                 do{
20                     z = stack[top--];
21                     dcc[cnt].push_back(z);
22 
23                 }while(z != y);
24                 dcc[cnt].push_back(x);
25             }
26         }
27         else low[x] = min(low[x], dfn[y]);
28     }
29 }
30 
31 //main()
32 for(int i = 1; i <= cnt; i++){
33     printf("e-DCC #%d:", i);
34     for(int j = 0; j < dcc[i].size(); j++){
35         printf(" %d", dcc[i][j]);
36     }
37     puts("");
38 }

v-DCC的缩点

设图中共有$p$个割点和$t$个v-DCC，新图将包含$p+t$个节点。

 1 //main
 2 num = cnt;
 3 for(int i = 1; i <= n; i++){
 4     if(cnt[i])new_id[i] = ++num;
 5 }
 6 tc = 1;
 7 for(int i = 1; i <= cnt; i++){
 8     for(int j = 0; j < dcc[i].size(); j++){
 9         int x = dcc[i][j];
10         if(cut[x]){
11             add_c(i, new_id[x]);
12             add_c(new_id[x], i);
13         }
14         else c[x] = i;
15     }
16 }
17 printf("缩点之后的森林， 点数%d, 边数%d\n", num, tc / 2);
18 printf("编号1~%d的为原图的v-DCC， 编号>%d的为原图割点\n", cnt, cnt);
19 for(int i = 2; i < tc; i += 2){
20     printf("%d %d\n", vc[i ^ 1], vc[i]);
21 }

有向图的强连通分量

一张有向图，若对于图中任意两个节点$x,y$，既存在$x$到$y$的路径，也存在$y$到$x$的路径，则称该有向图是强连通图。

有向图的极大强连通子图被称为强连通分量，简记为SCC。

一个环一定是强连通图，Tarjan算法的基本思路就是对每个点，尽量找到与它能构成环的所有节点。

Tarjan在深度优先遍历的同时维护了一个栈，当访问到节点$x$时，栈中需要保存一下两类节点：

1.搜索树上$x$的祖先节点，记为$anc(x)$

2.已经访问过，并且存在一条路径到达$anc(x)$的节点

实际上栈中的节点就是能与从$x$出发的“后向边”和“横叉边”形成环的节点。

追溯值：

定义为满足一下条件的节点的最小时间戳：

1.该点在栈中。

2.存在一条存subtree(x)出发的有向边，以该点为终点。

计算步骤：

1.当节点$x$第一次被访问时，把$x$入栈，初始化$low[x]=dfn[x]$

2.扫描从$x$出发的每条边$(x,y)$

　　(1)若$y$没被访问过，则说明$(x,y)$是树枝边，递归访问$y$,从$y$回溯后，令$low[x] = min(low[x], low[y])$

　　(2)若$y$被访问过且$y$在栈中，令$low[x] = min(low[x], dfn[y])$

3.从$x$回溯之前，判断是否有$low[x] = dfn[x]$。若成立，则不断从栈中弹出节点直至$x$出栈。

强连通分量判定法则

追溯值计算过程中，若从$x$回溯前，有$low[x] = dfn[x]$成立，则栈中从$x$到栈顶的所有节点构成一个强连通分量。

如果$low[x]=dfn[x]$，说明$subtree(x)$中的节点不能与栈中其他节点一起构成环。另外，因为横叉边的终点时间戳必定小于起点时间戳，所以$subtree(x)$中的节点也不可能直接到达尚未访问的节点（时间戳更大）

 1 const int N = 100010, M = 1000010;
 2 int ver[M], Next[M], head[N], dfn[N], low[N];
 3 int stack[N], ins[N], c[N];
 4 vector<int>scc[N];
 5 int n, m, tot, num, top, cnt;
 6 
 7 void add(int x, int y){
 8     ver[++tot] = y, Next[tot] = head[x], head[x] = tot;
 9 }
10 
11 void tarjan(int x){
12     dfn[x] = low[x] = ++num;
13     stack[++top] = x, ins[x] - 1;
14     for(int i = head[x]; i; i = Next[i]){
15         if(!dfn[ver[i]]){
16             tarjan(ver[i]);
17             low[x] = min(low[x], low[ver[i]]);
18         }else if(ins[ver[i]]){
19             low[x] = min(low[x], dfn[ver[i]]);
20         }
21     }
22     if(dfn[x] == low[x]){
23         cnt++;
24         int y;
25         do{
26             y = stack[top--], ins[y] = 0;
27             c[y] = cnt, scc[cnt].push_back(y);
28         }while(x != y);
29     }
30 }
31 
32 int main(){
33     cin>>n>>m;
34     for(int i = 1; i <= m; i++){
35         int x, y;
36         scanf("%d%d", &x, &y);
37         add(x, y);
38     }
39     for(int i = 1; i <= n; i++){
40         if(!dfn[i])tarjan(i);
41     }
42 }

缩点

 1 void add_c(int x, int y){
 2     vc[++tc] = y, nc[tc] = hc[x], hc[x] = tc;
 3 }
 4 
 5 //main
 6 for(int x = 1; x <= n; x++){
 7     for(int i = head[x]; i; i = Next[i]){
 8         int y = ver[i];
 9         if(c[x] == c[y])continue;
10         add_c(c[x], c[y]);
11     }
12 }

李煜东的《图连通性若干扩展问题探讨》，有点难。

标签：Tarjan,int,连通,笔记,++,算法,dfn,low,节点
来源： https://www.cnblogs.com/wyboooo/p/11061928.html

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