标签：背包 Python max 最大值 选法 range 物品 模板

前言

01背包——万恶之源
我一定要搞好这个背包问题！

一、 01背包

1. 问题描述

01背包问题：给定\(N\)个物品和容量为\(V\)的背包，每个物品有两个属性：价值\(w_i\)和体积\(v_i\)，每个物品只能取1次，问在背包中放入哪些物品可以使得总价值最大？

输入例子：

4 5 # 物品数量和背包容量
1 2 # 物品1的体积和价值
2 4
3 4
4 5

输出例子：

8 # 价值最大的结果

2. 解题思路

1. 状态表示f[i, j]（一般背包问题都是二维）

• 表示所有选法，满足只从前i个物品中选，并且选出来的物品总体积小于等于j，f[i, j]的值为这些选法的价值的最大值
  • 前i个物品：这个价值最大值从前i个物品考虑，并不代表前i个物品都选了
• 最后答案是\(f[N][V]\)

2. 状态计算

• 对于f[i, j]，可以将该集合划分为两部分：选法包含i，选法不包含i。两部分的最大值就是f[i, j]

• 如何计算这两部分

  • 选法不包含i：从1~i-1中选，且总体积不超过j的所有选法的最大值（这些选法一定不会包含i），即f[i-1, j]

  • 选法包含i：包含i的选法的最大值

    如何求？——“曲线救国”

    1. 先不去看第i个物品，即从第1~i-1个物品中选。

       但是由于最后要加上第i个物品，所以在第1到i-1个物品选时，选法不能超过\(j - v[i]\)，得出这部分最大值，即\(f[i-1, j - v[i]]\)

    2. 再加上第i个物品的价值，即可得到包含i的选法的最大价值

       即\(f[i-1, j - v[i]] + w[i]\)

• 注意，当\(j < v_i\)的时候，即选法总体积装不下第i个物品的时候，选法包含i这个情况不存在

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来源： https://www.cnblogs.com/3-louise-wang/p/16371689.html

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