决策单调性
决策单调性，顾名思义就是决策点具有一定的单调性，使得我们在转移的过程中不需要遍历全部的情况，而只需要在一段满足单调性的区间内寻找我们想要的最优解
有的题目甚至不算是DP题，但是也有决策单调性的性质，也归到这一类
由于博主太菜，这里面很多结论不会给出详细的证明，可能只会给出感性理解的记忆方式
建议的阅读顺序是：
- 记住区间包含单调性，四边形不等式的定义
- 学习决策单调性优化DP在区间类（2D1D）和1D1D DP 中的应用
- 在看例题的同时留意四边形不等式的一些证明
四边形不等式
定义
- 区间包含单调性：
常见的满足区间包含单调性的有：\(w(l,r)=r-l\)，前缀和等
- 四边形不等式（交叉小于包含）：
特别的，如果等号恒成立，成\(w\)满足四边形恒等式
常见的满足四边形不等式的有：\(w(l,r)=r^2-l^2\)，证明如下：设\(a\le b\le c\le d\)
\[\begin{aligned} &\ \ \ \ \ (c-a)^2+(d-b)^2=a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd\\ &\le a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd-2a(d-c)+2b(d-c)\\ &=a^2+b^2+c^2+d^2-2ad-2bc\\ &=(d-a)^2+(c-b)^2 \end{aligned} \]常见的满足四边形恒等式的有：\(w(l,r)=r-l\)
如果已知\(w(l,r-1)+w(l+1,r)\le w(l,r)+w(l+1,r-1)\)，那么可以归纳证明其满足四边形不等式
一些性质
这些性质常用来证明区间包含单调性和四边形不等式，打表观察DP状态或者\(w\)函数是否满足这个关系也是实用手段（尤其是当你不知道该怎么优化DP的时候可以猜一手）
性质1
- 若函数\(w_1(l,r),w_2(l,r)\)均满足四边形不等式/区间包含单调性，则对于任意 \(c_1,c_2\ge 0\)，函数 \(c_1w_1+c_2w_2\) 也满足四边形不等式/区间包含单调性。
性质2
- 若函数\(w(l,r)=f(r)-g(l)\)，则函数 \(w\) 满足四边形恒等式。当函数 \(f,g\) 单调增加时，函数\(w\) 还满足区间包含单调性。
性质3
- 设\(h(x)\) 是一个单调增加的凸函数，若函数\(w(l,r)\)满足四边形不等式和区间包含单调性，则复合函数 \(h(w(l,r))\) 也满足四边形不等式和区间包含单调性。
性质4
- 设\(h(x)\) 是一个凸函数，若函数\(w(l,r)\)满足四边形不等式和区间包含单调性，则复合函数 \(h(w(l,r))\) 也满足四边形不等式。
以上性质会在例题的证明中被提到
决策单调性优化DP
决策单调性能够优化的DP主要有以下两类：
区间类（2D1D）动态规划
（2D1D指状数\(O(n^2)\)，转移有\(O(n)\)中情况）
形如：
\[f\ [l,r]\gets \min\limits_{l\le k<r}\{f\ [l,k]+f\ [k+1,r]\}+w(l,r) \]引理：若\(w(l,r)\)满足区间包含单调性和四边形不等式，则状态\(f[l,r]\)满足四边形不等式
定理：记\(g[l,r]\)为\(f[l,r]\)的最小的 最优决策点，那么
\[g[l,r-1]\le g[l,r]\le g[l+1,r] \]也就是说，我们在区间类DP的时候顺便记录下转移点，对于当前状态\(f[l,r]\)，我们可以确定它的可能的最优解一定在\([\ g[l,r-1], g[l+1,r]\ ]\)这个区间内，对决策点的总枚举两降到\(O(n^2)\)
for (int len = 2; len <= n; ++len) // 枚举区间长度
for (int l = 1, r = len; r <= n; ++l, ++r) {
// 枚举长度为len的所有区间
f[l][r] = INF;
for (int k = g[l][r - 1]; k <= g[l + 1][r]; ++k)
if (f[l][r] > f[l][k] + f[k + 1][r] + w(l, r)) {
f[l][r] = f[l][k] + f[k + 1][r] + w(l, r); // 更新状态值
g[l][r] = k; // 更新（最小）最优决策点
}
}
另一种形式
\[f\ [i,j]\gets \min\limits_{k\le j}\{f\ [i-1,k]+w(k+1,j)\} \]我们有类似的决策单调性
\[g[i-1,j]\le g[i,j]\le g[i,j-1] \]感性理解：因为有区间包含单调性，我们把一个区间的贡献拆成多个肯定不会更劣，这样我们得到了下界，同时减少一个元素贡献也不会变劣，得到上界
例题
- HDU3480 Division，四边形不等式的证明见上
- P4767 [IOI2000]邮局，\(w(l,r)\)在\([l,r]\)之间建一个邮局的最小距离，显然取中位数最优，可以证明其满足四边形不等式（我不会证）
1D1D 动态规划
形如：
\[f[i]\gets \min\limits_{j=1}^{i-1}\{f[j]+w(j,i)\} \]定理：若\(w(l,r)\)满足区间四边形不等式，记\(g[i]\)表示\(i\)的最小最优决策点，那么
\[\forall r_1\le r_2,g[r_1]\le g[r_2] \]另一种形式（严格弱化版）
形如：
\[f[i]=\min\limits_{j=1}^{i-1}\{w(j,i)\} \]因为决策单调性只限制了下界，并没有限制上界，所以复杂度依然是\(O(n^2)\)的。
所以我们要想办法限制上界
考虑暴力\(O(n)\)找出中点\(mid\)的最优转移点，那么对于\([l,mid-1]\)的点，我们有了一个上界，对于\([mid+1,r]\)的点，我们有了新的下界
这是一个分治问题，递归下去处理即可
例题：
以Lightning Conductor为例使用四边形不等式相关性质证明四边形不等式
（下次有时间再写）
回到原问题
（下次有时间再写）
标签：le,不等式,满足,DP,区间,四边形,优化,单调 来源： https://www.cnblogs.com/harryzhr/p/14695633.html
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