标签:ci 西瓜 二次 凸函数 约束 问题 6.6 第六章 规划
1. 凸优化问题
对于一般的非线性规划,若目标函数是凸函数,约束集合 D 是凸集,则称该非线性规划是凸规划。
若上述约束规划中只含有不等式约束,又 ci(x)(i∈I)是凸函数,则约束集 D 是凸集。
对于混合约束问题,若 ci(x)(i∈E)是线性函数,ci(x)(i∈I) 是凸函数,则 D 是凸集。
定理 4: 凸规划的局部解必是全局解。
定理 5: 设目标函数 f(x) 和约束函数 ci(x)一阶连续可微,并且 ci(x)(i∈E) 是线性函数, ci(x)(i∈I) 是凸函数。若凸规划的可行点 x∗ 是K-T点,则 x∗ 必是全局解。
2. 凸二次规划问题
一般的约束规划问题求解非常困难,从下面开始我们将仅讨论凸二次规划问题的求解方法。考虑如下约束优化问题:
其中 G 为 n×n 对称矩阵,r,αi(i∈E∪I) 为 n维实向量, bi(i∈E∪I) 为实数,称上述问题为二次规划(quadratic programming)问题。
如果G 为(正定)半正定矩阵,则称上述问题为(严格)凸二次规划(convex quadratic programming)。(严格)凸二次规划问题的局部解均是全局最优解。
定理 6: x∗ 是上述凸二次规划问题的全局最优解得充分必要条件是: x∗是K-T点,即存在 λ∗=(λ1∗,λ2∗,…,λl+m∗) 使得:
定理 7: 若 x∗ 是上述凸二次规划的全局最优解,则 x∗是如下等式约束二次规划问题的全局最优解。
参考资料:约束规划问题与凸二次规划
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