倒水问题
有三个杯子，容量分别为 $A,B,C$。
初始时，$C$ 杯装满了水，而 $A,B$ 杯都是空的。
现在在保证不会有漏水的情况下进行若干次如下操作：
将一个杯子 $x$ 中的水倒到另一个杯子 $y$ 中，当 $x$ 空了或者 $y$ 满了时就停止（满足其中一个条件才停下）。
请问，在操作全部结束后，$C$ 中的水量有多少种可能性。
输入格式
输入包含多组测试数据。
每组数据占一行，包含三个整数 $A,B,C$。
输出格式
每组数据输出一个结果，占一行。
数据范围
$0 \leq A,B,C \leq 4000$,
每个输入最多包含 $100$ 组数据。
输入样例：
0 5 5 2 2 4
输出样例：
2 3
解题思路
一开始直接写了个爆搜，结果写了半天还写错了，一共有六种倒水的方式，如果每种情况都手写一遍很麻烦而且很容易错，这里有个更为巧妙的方法，利用循环和数组来枚举这六种情况。
分析一下一共有多少种状态，每个杯子的容量最多是$4000$，因此三个杯子一共会有$4000^3$种不同的状态。但实际上每次倒水后必然至少有一个杯子是空的或者是满的，因此实际上的状态数为$2 \times 3 \times 4000^2$，这里的$2$是指空或满的情况，$3$是指从三个杯子中选一个是空或满的状态。当然这个是一个上限值，实际上的状态数是远远小于这个数的。
因此需要枚举每一个状态，从一个状态转移到另外一个状态，可以看作是图的遍历。
AC代码如下：
1 #include <bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3
4 typedef long long LL;
5
6 const LL B = 1000;
7
8 int a[3];
9 unordered_set<LL> st;
10 unordered_set<int> ans;
11
12 LL get(int *b) { // 把三个杯子中的水(状态)映射成一个LL
13 return b[0] * B * B + b[1] * B + b[0];
14 }
15
16 void dfs(int *b) {
17 if (st.count(get(b))) return; // 记录状态，避免重复搜索
18 st.insert(get(b));
19 ans.insert(b[2]);
20
21 // 枚举所有的情况，从i倒水到j
22 for (int i = 0; i < 3; i++) {
23 for (int j = 0; j < 3; j++) {
24 if (i == j) continue; // 不可以自己倒水给自己
25 int t = min(b[i], a[j] - b[j]); // 取i杯子当前盛水量与j杯子剩余容量的最小值
26 int c[3] = {b[0], b[1], b[2]}; // 为了恢复现场开个临时数组
27 c[i] -= t, c[j] += t; // 倒水
28 dfs(c);
29 }
30 }
31 }
32
33 int main() {
34 while (~scanf("%d %d %d", a, a + 1, a + 2)) {
35 st.clear();
36 ans.clear();
37 int b[3] = {0, 0, a[2]};
38 dfs(b);
39 printf("%d\n", ans.size());
40 }
41
42 return 0;
43 }
参考资料
AcWing 3511. 倒水问题（暑假每日一题2022）：https://www.acwing.com/video/4064/
标签：倒水,状态,int,问题,4000,ans,杯子 来源： https://www.cnblogs.com/onlyblues/p/16500822.html
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