【模板】杜教筛（Sum） 题目链接：luogu P4213 题目大意 要你求 φ 函数的前缀和和 μ 函数的前缀和。 （分别是欧拉函数和莫比乌斯函数） 思路 前置知识（们） 积性函数：对于两个互质的数 \(x,y\)，\(f(xy)=f(x)f(y)\)，那 \(f\) 就是积性函数。 完全积性函数：对于任意两个整数 \(x,y\)，\(f(xy)=f(x)f(
今天本身是要学习莫比乌斯反演的，然后题单里面出现了一道需要用杜教筛的题，我还推到了只剩杜教筛的地方 于是迫不得已学习了这种神仙算法，真是迫不得已啊。。。。 杜教筛是一种在线性复杂度以下的求积性函数前缀和的高级算法，大概在\(O(n^{\frac{2}{3}})\)左右 前置知识 积性函数 积性
计算一个式子：\(\sum\limits_{i = 1}^n \cfrac{n}{i}\)。 很明显可以直接一个\(for\)循环，\(O(n)\)求出结果，但是我们可以将其优化到\(O(\sqrt n)\)。 例题 AcWing199. 余数之和 给定正整数n和k，计算\((k \mod 1) + (k \mod 1) + ... + (k \mod n)\)的值。 \(1 \leq n, k \leq 10
文章目录 求极限什么情况可以拆开？答：例题：重要思想： 求极限什么情况可以拆开？ 答： 1.B乎 总结：就是极限为加减形式时，只要有一个存在就可以拆，乘除时如果没有出现无穷小，只要有一个存在就可以拆，但如果出现无穷小，就要慎重考虑另一个函数是否存在，如果不存在就不能拆。 (我的理解：
https://codeforces.com/problemset/problem/1278/F/ 题解 显然，洗一次牌，第一张是鬼牌的概率是 \(\dfrac{1}{m}\)，记 \(P=\dfrac{1}{m}\) 设 \(x_i=0/1\) 表示第 \(i\) 次洗牌之后第一张是不是鬼牌 不妨先考虑一下 \(n=2,k=2\) 的情况： \[\begin{align*} E((x_1+x_2)^2) &=E(x_1^2+x_
https://atcoder.jp/contests/abc220/tasks/abc220_h 题解 考虑折半搜索，将 \(n\) 个点分为大小为 \(\dfrac{n}{2}\) 的两个集合 \(S, T\) 设 \(F1[s]\ (s\subseteq S)\) 表示如果选了 \(s\) 中的点安装摄像头，那么被监视的边的数量的奇偶性 设 \(F2[t]\ (t\subseteq T)\) 表示如果
数学分析习题笔记 目录数学分析习题笔记第一章T1： 第一章 T1： \(设\lbrace a_n\rbrace且a_n\rightarrow a \in \Bbb R,又设\lbrace B_n \rbrace为正数列,c_n=\frac{a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n},求证\lbrace{c_n}\rbrace收敛\) \(令M=max\lbrace |a_i|\rbrace
T1 如何优雅的送分 他说是送分题，我就刚，没刚出来，想到莫比乌斯容斥后就都没推出来 好吧还是不能被恶心的题目，挑衅的语言打乱做题节奏 于是这一场也就没了。。。。 $F(i)$表示$i$的不同质因子集合大小 $2$的这么多次方显然是在枚举子集 那么改变一下枚举顺序，问题答案可以理解为： 几个
Description 洛谷传送门 Solution 一道非常经典的线段树问题，下面我们来分析一下。 题目要求我们支持区间加，求区间平均值，求区间方差。 区间加和区间平均值都很简单，唯独这个区间方差要如何维护呢？ 我们先来看一下方差的式子： \[len = r - l + 1 \]\[S^2 = \frac{1}{len}\sum\limits_{i
组合数可以表示为 \[C^m_n = \frac{n!}{m!(n-m)!} \]假设\(n!,m!,(n-m)!\)含因子\(2\)的个数分别为\(A,B,C\) 则当\(A=B+C\)时，\(C^m_n\)为奇数 那么如何求出\(n!\)的因子个数呢？ 对于一个质数\(p\)， 它的倍数\(k*p^i\)含因子\(p\)的个数为即为\(i(k=1,2,3...)\) 于是只要求出\(n!\)
T3 题目描述 \(n\) 个人排成一个环，第 \(i\) 人有 \(a_i\) 个球。现在，第 \(i\) 个人选择将自己的 \(h_i\;(h_i\in [0,a_i])\) 个球给右边的人 \(j\) \((j=i\%n+1)\)。设过程结束后，第 \(i\) 人拥有的球数为 \(b_i\)。所有可能的情况下的 \(b\) 构成了集合 \(B\)，求 \(\sum_{b\in B}\p
题目描述 \(n\) 个人排成一个环，第 \(i\) 人有 \(a_i\) 个球。现在，第 \(i\) 个人选择将自己的 \(h_i\;(h_i\in [0,a_i])\) 个球给右边的人 \(j\) \((j=i\%n+1)\)。设过程结束后，第 \(i\) 人拥有的球数为 \(b_i\)。所有可能的情况下的 \(b\) 构成了集合 \(B\)，求 \(\sum_{b\in B}\prod
题面传送门 笑死，我已经落魄到连容斥都想不到的地步了吗/ll orz ycx 爆切容斥 %%% 首先考虑字典树节点的实际意义：\(m\) 个字符串的本质不同前缀个数，也就是全部 \(m\) 个串的前缀组成的集合的并集大小。注意到这个并的大小很难求，因此我们考虑容斥，即，枚举一个集合 \(S\)，计算 \(S\) 中
题目链接 题意： 记 \(f(t)=\sum\limits_{k=1}^t k[\gcd(k,t)=1]\) 求 \(\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (i^2+j^2+ij)f(\gcd(i,j)),n\leq 10^{10}\) 按照原题的做法，将原式莫反，得到 \(\sum\limits_{T=1}^n \left(T^2\sum\limits_{d|T}^{}f(d)\mu(T/d)\right) \sum
写在前面：文章中 ${\max}_k(S)$ 表示集合 $S$ 中第 $k$ 大的元素，${\min}_k(S)$ 同理，$k=1$ 时会省略下标 $k$ 。 Min-max容斥是一种通过集合中的元素表示出集合第 $k$ 大（小）元素的容斥，往往在比较元素大小较难时使用。 既然要将集合第 $k$ 大表示成容斥形式，于是我们可以设出一个这
传送门 暴力的话其实是网络流的板子，但我没有看出来 于是想了一个贪心的部分分解法，每次取余量最多的b 正解的话 首先若是check一个固定的 \(a, b\)，就是check能否满流 令 \(c_i\) 为a数组从大于等于 \(i\) 的数的个数，则有 \(\sum\limits_{i=1}^{n} min(a_i, k) = \sum\limits_{i=1}
矩阵范数 定义 设 A ∈ C m × n
题目大意 求 \[\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\mu(d)\sigma_0^2(\frac i d) \]\(n\le 10^9, T \le 10\)。 解题思路 讲题的时候讲的可能不太清晰。这里给出一个详细的过程。 许多人都发现了这道题是一个min_25筛的版题并爆切了，但是否有人尝试证明了呢？ 根据SDOI2015 约数个数和，我们得到 \(
Problem 1 解下述线性方程组: \[\left\{ \begin{aligned} (1+a_1)x_1+x_2+\cdots+x_n=b_1\\ x_1+(1+a_2)x_2+\cdots+x_n=b_2\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ x_1+x_2+\cdots+(1+a_n)x_n=b_n\\ \end{aligned} \right. \] 其中 \(a_i\not=0,i=1,2,
考虑折半，将点按照标号是否 \(\le \frac{n}{2}\) 分成两个集合 \(S_1, S_2\)。 首先原问题的形式有点奇怪，我们不妨统计没有被覆盖覆盖的边为偶数条的情况。 这样一来问题转化为白点 导出子图 的边数为偶数的情况，这与原问题等价。 考虑 \(S_1, S_2\) 中怎样的两个集合合并是合法的，形
传送门 有几档暴力不会写，巨丢人 \(m=2\) 的话两个人之间的距离会覆盖整棵树上所有可能的路径，所以就是求所有树上路径长度的总和 成链且 \(m\) 为奇数的话，集中点肯定是中位数那个点 考场上想偏了，只会用这个性质求一些给定的人应该集中在哪个点 但实际上可以枚举中位数这个点，求出一
洛谷题面传送门 首先推式子： \[\begin{aligned} ans&=\sum\limits_{i=A}^B\sum\limits_{j=1}^i\{\dfrac{i}{j}\} \end{aligned} \]考虑差分，设 \[f(n)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^i\{\dfrac{i}{j}\} \]那么 \[ans=f(B)-f(A-1) \]考虑如何计算 \(f(n)\)： \[\be
大家好，架构摆渡人。这是我的第4篇原创文章，还请多多支持。 限流一直就是一个比较热门而又老旧的话题，但是作为应对高并发的手段之一，限流的热度一直都在。 前面我们大概的介绍了限流的背景，主流的限流算法，以及到底是选择自研还是选择开源的框架来实现限流功能，相关文章可以翻阅历史记录
大家好，架构摆渡人。这是我的第4篇原创文章，还请多多支持。 限流一直就是一个比较热门而又老旧的话题，但是作为应对高并发的手段之一，限流的热度一直都在。 前面我们大概的介绍了限流的背景，主流的限流算法，以及到底是选择自研还是选择开源的框架来实现限流功能，相关文章可以翻阅历
不太了解这个东西的具体定义是什么，总之应该是一个用数据结构维护 DP 状态的某几个维度的 trick 吧。 事实上你可以把这篇 post 理解为三个题的解集。 先直接来看 noi2020 - Destiny 这个题。 给定一棵树 \(T = (V, E)\) 和点对集合 \(\mathcal Q \subseteq V \times V\) ，满足对于
