题意 有一个包含\(N\)个元素的数组\(A\). 有\(2^N - 1\)种方式从中选择至少一项。问其中有多少满足平均值为整数。 题目链接：https://atcoder.jp/contests/abc262/tasks/abc262_d 数据范围 \(1 \leq N \leq 100\) 思路 如果选中了\(x_1,x_2,\dots, x_i\)，那么它们的平均值为\(\frac{
由来（doge） Once upon a time, there were two clever people named Alice and Bob. This is how the story begins... 基础 \(N\) 为先手必胜局面，\(P\) 为先手必败局面。 先手被认为输的局势，我们可以称之为奇异局势。 巴什博弈 小学奥数题：甲乙轮流报数至多报 77 个数，至少报 11 个
这个题提供给了我们一个比较新颖的思考方向： 发现由所有的和可以组成这样的 \(n\) 个偏序集： \[\{a_1+b_1,a_1+b_2 \dots a_1+b_n\} \]\[\{a_2+b_1,a_2+b_2 \dots a_2+b_n\} \]\[\dots \]\[\{a_n+b_1,a_n+b_2 \dots a_n+b_n\} \]然后我们可以考虑把每个偏序集中最小的元素加入一
反演原理 给定函数 \(F\to G\) 之间的（求和）关系式，由此推出 \(G\to F\) 的关系式，此二者之间的相互推导就称为反演关系。 定义两个关系矩阵 \(A\) ，来描述求和关系 \(F\) 和 \(G\) 。 \(F[i]=\sum_{j=1}^{i}{A_{i,j}\times G[j]}\Leftrightarrow G[i]=\sum_{j=1}^{i}{B_{i,j}\times F[
归档。 试证明：\(\sum \limits _{d | x} \varphi (d) = x\) Lemma 1. 试证明：\(\sum \limits _{d | p^k} \varphi (d) = p ^k\)，其中 \(p\) 为质数。 证明：显然，和 \(n\) 不互质的数一定含有 \(p\) 因子，而在 \([1, n]\) 中总共有 \(\lfloor \frac {n} {p} \rfloor = p ^{k - 1}\) 个
母函数 引入(母函数的意义) \((x_1+x_2+\dots x_k)^n\) 的多项式展开。 形成 \({x_1}^{n_1}\times {x_2}^{n_2}\times \dots \times{x_k}^{n_k}\) 的方案数。（满足 \(n_1+n_2+\dots +n_k=n\)，下同） \(n\) 个盒子，每个盒子有 \(k\) 种球，从每个盒子选一种球，选 \(n_1\) 个 \(x_1\)，\(n_2
题目链接 215. 破译密码 达达正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题： 对于给定的整数 \(a,b\) 和 \(d\)，有多少正整数对 \(x,y\)，满足 \(x \le a，y \le b\)，并且 \(gcd(x,y)=d\)。 作为达达的同学，达达希望得到你的帮助。 输入格式 第一行包含一个正整数 \(n\)，表示一共有 \(n\) 组询
lyndon 分解学习笔记 定义 lyndon 串 一个字符串，如果他是他的最小后缀，那么他就是 lyndon 串。 还有一种定义是，在他的循环同构里他是字典序最小的那个。 近似 lyndon 串 设 \(t\) 是一个 lyndon 串，\(t^c\) 为 \(t\) 拼接 \(c\) 次，\(t'\) 为 \(t\) 可空前缀，那么 \(t^c + t'\) 为近似
Counting Ones (30) Link 题意：给定一个数n，求出1~n这n个十进制数中1出现的次数。例如11中1出现了2次，10中出现了1次。 思路：对于n，假设它写成十进制有m位，表示为： \(a_1 a_2 a_3 \dots a_m\) 其中 \(n=a_1*10^{m-1}+a_2*10^{m-2}+\dots +a_{m-1}*10+a_m\). 那么就对这m位从低到高遍历一
题意 给定一个长度为\(N - 1\)的整数序列\(S = (S_1, S_2, \dots, S_{N-1})\)以及\(M\)个不同的被称为幸运数的整数\(X_1, X_2, \dots, X_M\)。 一个长度为\(N\)的整数序列\(A = (A_1, A_2, \dots, A_N)\)满足如下条件时被称为好序列： 对于任意\(i = 1, 2, \dots, N - 1\)，有：\(A_i
Lyndon 分解 以下所有字符串的大小关系都是对字符串字典序的比较。 定义串 \(S\) 为 Lyndon 串当且仅当 \(S\) 小于其所有不为 \(S\) 的后缀。 该命题等架于 \(S\) 是它的所有循环表示中最小的。 定义串 \(S\) 的 Lyndon 分解为将 \(S\) 分为若干部分 \(S=w_1w_2\dots w_m\) 使得
题目传送门 题目大意 给你一张无向图，图中每条边是蓝色或者红色的，让你每次选一个点，就会把与这个点相连的边的颜色反转（红变蓝，蓝变红），求最少步数的方案使得最后所有边的颜色都一样。 思路 好像没有 \(2-sat\) 的题解，那我就来一发。 首先分类讨论：要么都变成红色，要么都变成蓝色。 如果
几个关键点。 可以用栈模拟求答案过程，因为随便匹配答案也是对的，很好反证，读者自证不难。 对于区间 \([l,r]\) 询问，可以用前缀 \(l-1\) 和前缀 \(r\) 的栈状态回答：如果 \(l-1\) 的状态是 \(a_1,a_2,\dots,a_x\)，加入 \([l,r]\) 后，变成 \(a_1,a_2,\dots,a_y\)，其中两段的 \(\operatorn
讲的东西越难，越要坚持做笔记！ 以往的板子都记在剪贴板上，因为没什么推导。但群论不得不推导一堆。 置换与置换群 有限集合到自身的双射称为 置换。 e.g. 对于 \(\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\), \[ f=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\dots,a_n\\ a_{p_1},a_{p_2},\dots,a_{p_n} \end{pmat
\(a_n=2a_{n-1}+1(n>1)\) 这是谢宾斯基三角形的递推公式 \(a_n=3^{n-1}\) 这是谢宾斯基三角形的通项公式 这完全可以出一道时间复杂度的题目 我们转化一下 \[a_n=2a_{n-1}+1(n>1) \]\[=2(2a_{n-2}+1) + 1 \]\[=2(2(2a_{n-3}+1)+1) + 1 \]\[=2(2(2\dots(2+1)\dots +1) \]\[=3^{n-1}
ARC 140 打得很烂。Rank 590，Performance 1696。 D - One to One 每个点都有恰好一个出边，所以这是一个外向基环森林。因此连通块数就等于环的个数，我们只需要求出所有方案中环的个数的总和。直接算比较难办，考虑算每个环对答案的贡献。 首先，假如忽略掉 \(A_i=-1\) 的连通块，剩下的环是
P2350 [HAOI2012]外星人 给定一个表示为 \(\prod\limits_{i=1}^m p_i^{q_i}\) 的数 \(N\)。 对于 \(N\)，求出 \(x\) 满足 \(\begin{matrix}\underbrace{\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(\dots \varphi(N) \dots))))}\\x 个 \varphi()\end{matrix}=1\)。
自控要期末考，文章合为时而著 这玩意可能挺有意思的，但最后沦为为考试而学了 说起来我为什么要学这种课？ 记一些思想，免得以后忘光了可惜 输入 \(r(t)\)，输出 \(c(t)\) 微分方程 \(c^{(n)}+a_{n-1}c^{(n-1)}+\dots+a_0 c = b_m r^{(m)}+\dots+b_0 r\) 拉普拉斯变换到复数域，定义传递函数
合适数对（数据加强版） 思路： 我们考虑一个数什么时候可以表示为\(x ^ {k}\)，先把\(x\)进行质因数分解可以得到\(x = p_{1}^{t_1} * p_{2} ^ {t_2} \dots * p_{n} ^ {t_n}\),所以\(x ^ {k}\)就可以表示为\(x ^ {k} = p_{1} ^ {k_1} * p_{2} ^ {k_2} \dots * p_{n} ^ {k_n}\), 其中\(k_1
2 行列式 2.1 n元排列 1、n个不同的自然数的一个全排列称为一个n元排列。 2、顺序、逆序、逆序数：τ(abcd...)（读音：tao）、奇排列、偶排列、对换(a,b) 3、定理1：对换改变n元排列的奇偶性。 4、定理2：任一n元排列与顺序排列123……n可以经过一系类对换互变，且所做对换次数与这个n元排列有
最大子矩阵 给定一个长度为 $n$ 的整数数组 $a_{1},a_{2}, \dots ,a_{n}$ 和一个长度为 $m$ 的整数数组 $b_{1},b_{2}, \dots ,b_{m}$。 设 $c$ 是一个 $n \times m$ 的矩阵，其中 $c_{i,j} = a_{i} \times b_{j}$。 请你找到矩阵 $c$ 的一个子矩阵，要求：该子矩阵所包含的所有元素之和
题目链接 97. 约数之和 假设现在有两个自然数 \(A\) 和 \(B\)，\(S\) 是 \(A^B\) 的所有约数之和。 请你求出 \(S\mod9901\) 的值是多少。 输入格式 在一行中输入用空格隔开的两个整数 \(A\) 和 \(B\)。 输出格式 输出一个整数，代表 \(S\mod9901\) 的值。 数据范围 \(0≤A,B≤5×10^7
题意 判断一个$n \times m $ 的棋盘上是否有环 \((\)颜色相同的环状连通块，且最少有4块\()\)。 分析 用dfs搜一遍，如果是颜色相同的就继续搜，记录起点和转弯次数，如果转\(4\)次走回起点就输出YES，如果搜了一遍搜不到环，就输出NO。 代码 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; c
A卡片 cards = [2021]*10 i = 1 while True: s = str(i) for j in s: cards[int(j)] -= 1 flag = False for j in cards: if j < 0: flag = True break if flag: break i += 1 print(i-1) # 3181
前言 这篇东西大部分都是在瞎bb，大佬们可以选择不看。大部分内容来自 \(\rm 3Blue1Brown\) 大佬的视频。 需要先学高斯消元。 基础向量 定义一个 \(n\) 维的向量 \(\vec v\) ，其长度用 \(|\vec v|\) 表示，一般来说，我们可以用一个 \(n\) 元组（可以理解为一个长度为 \(n\) 的序列）表示一
