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Link. Codeforces Luogu Description. 有 \(m\) 个人，轮流占位置，第 \(i\) 个人出现在 \(a_i(\in[1,n])\) 并往 左/右 方向移动，占领第一个没有人的位置。 一个方案合法，当且仅当没有一个人它没有位置。 一个方案的权值定义为每个人到它目标位置的距离和。 问所有方案的权值和。 Solut

1 P7875 「SWTR-07」IOI 2077 题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P7875 2 题目描述 时间限制 \(1ms\) | 空间限制 \(512MB\) \(IOI 2077\) 有 \(n\) 位候选参赛者，他们分别编号为 \(1\sim n\)。每位候选参赛者都有一个能力值，且能力值互不相等，第 \(i\) 位候选参赛者的

卢卡斯定理 \(\text{Lucas}\) 定理 P3807 【模板】卢卡斯定理/Lucas 定理 定义： 对于质数模数 \(p\) ，满足以下定理： \[\dbinom{n}{m} \mod{p}\equiv \dbinom{\left\lfloor n/p\right\rfloor}{\left\lfloor m/p\right\rfloor}\times\dbinom{n\%p}{m\%p}\mod{p} \]最终 \(\dbinom{n}{m

容易注意到每个质因数是独立的，求出来加起来即可。那就分解质因数对每个质因数搞一个序列，每个值为对应数的该质因数次数，求答案。这样非零数的总数是线对，但是加上零就爆炸了，所以我们的复杂度要严格只与非零数的个数相关。另：分解质因数并不需要线根的做法，普通分解质因数的结果容量是

题目链接 屑题，估计考场上遇见这种东西我会直接被送退役。（悲） 这一题可以当做下降幂多项式入门。 下降幂记作 \(n^{\underline x}=\frac{n!}{(n-x)!}\)。 这个东西也有一个你小学就知道的名字叫做排列。 推式子的基础是 \(k^{\underline m}\dbinom n k=\frac{k!n!}{(k-m)!k!(n-k)!}=

题意简析 给你 $n$ 盏灯，一开始都是暗的每次，点亮一盏灯。 如果每次点亮后，存在一个长度为 $k$ 的区间中，不止一盏灯亮，则停止。 求期望点亮多少盏灯？对 $10^9+7$ 取模。 有多组数据，$n,k\le 10^5$。 ## 分析 根据期望的计算公式可得：$$E=\sum p_ii$$但这里 $p_i$ 表示什么？ 我们发现 $p_

二项式反演 若有两个长度均为\(n\)的数列\(f\),\(g\)，满足 \[g_m=\sum_{i=0}^m\dbinom{m}{i}f_i \]则有 \[f_m=\sum_{i=0}^m(-1)^{m-i}\dbinom{m}{i}g_i \]用途：有时对于较难求出的\(f\)，可利用其性质先求出\(g\),进而较为简单的求出\(f\) 至少形式（一般用的多） 若 \[g_m=\sum_{i=m}^{n

1.卡特兰数 \[C_{n}=\dfrac{\dbinom{2n}{n}}{n+1} \]2.lucas 设\(n=kp+a\),\(m=lp+b\) \[\dbinom{n}{m}\equiv\dbinom{k}{l}\dbinom{a}{b}(\bmod p) \]3.二项式定理 \[(1+x)^{n}=\sum\limits_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}x^{i} \]4.二项式反演 对于\(f,g\)序列,若满足 \[g_{m}=\s

Description 给出一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，接下来会有 \(m\) 次询问。 每次询问会给出一个区间 \([l, r]\) 和一个数 \(x\)，你的任务如下。 给出一种取数的方式： 从区间 \([1, r - l + 1]\) 等概率地选取一个数 \(K\)。 从区间 \([l, r]\) 内等概率地选取 \(K\) 个数。

洛谷P1044 [NOIP2003 普及组] 栈 定义 经典问题：出栈序列数 由栈性质可得，某一时刻总操作的入栈数不能少于出栈数，若将入栈视为\(+1\),出栈视为\(-1\)，则任意时刻该序列前缀和不能小于零，且\(+1\)与\(-1\)总数相等（均为\(n\)个 如何求序列方案数 公式 易得，不剔除非法序列的情况下，序列总

Atcoder 题面传送门 & 洛谷题面传送门 首先我们考虑设 \(dp_{i,j}\) 表示对于一个 \(i\times j\) 的网格，其每行都至少有一个黑格的合法的三元组 \((A,B,C)\) 的个数，那么对于原来的 \(n\times m\) 的网格，如果其存在黑格的行的集合不同，那么三元组 \((A,B,C)\) 肯定不同，因此我们可以

1. 组合数取模 求 \(\dbinom nm\bmod p\) 1. \(n,m\le 200\)，\(p\) 任意 递推 2. \(n,m\le 10^6\)，\(p\ge 10^9\) 素数 预处理 \(n!\)，\(m!^{-1}\)，\((n-m)!^{-1}\) 即可 . 3. \(n,m\le 10^6\)，\(p\le 2000\) 素数 注意到 \(n\) 可能是 \(p\) 的倍数，故逆元可能不存在 . 引入 Lucas 定

组合数学 排列组合 排列组合是组合数学中的基础。排列就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序；组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。 排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。排列组合与古典概率论关系密切。

本文绝大部分内容来自《混凝土数学》 在被多项式爆踩的时候，我偶然发现了《混凝土数学》这本书，然后兴冲冲入手，一看啥都不会，于是就只能在这里带着推推柿子，尝试理解理解，也方便以后复习。 （本文略过了大部分对OI无用的芝士，可以放心食用） （顺带一提这略掉的东西可能还有点多） 现在开始！ I.下

文章目录 前言一、组合分析排列组合 前言 概率论基础教程系列是我在阅读Sheldon M.Ross的概率论基础教程时候的笔记和一些个人学习总结，在此记录方便后续复习。 一、组合分析 排列 计数基本法则： 有两个实验，其中实验1有m种可能发生的结果，对应于实验1的每一个可能发生的结

LIII.CF285E Positions in Permutations 神题orz…… 我也是第一次听说有个叫二项式反演的神奇东西…… 它具体有两个形式： \(F(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\dbinom{n}{i}G(i)\Leftrightarrow G(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\dbinom{n}{i}F(i)\) \(F(n)=\sum\limits_{i=0}^n

Codeforces 题目传送门 & 洛谷题目传送门 首先看到这题我的第一反应是：这题跟这题长得好像，不管三七二十一先把 \(k\) 次方展开成斯特林数的形式，\(f(X)^k=\sum\limits_{i=0}^k\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}\dbinom{f(X)}{i}\)，于是我们只需对所有 \(i\in[0,k]\) 求出 \(\sum\dbin

114514 114514 114514 114514 114514 114514 114514 114514 ''cpp include '' \(latex\) \(\mathtt{latex}\) \(4_4^3\) \(\gcd(i,j)\) \(\LaTeX\) \(\dbinom{n}{m}=\dbinom{n}{m-n}\) \[\sum\limits_{i=1}^{n^2}\dbinom{i}

题目描述   给定一个 \(n\times m(1\leq n,m\leq 1000)\) 的网格，计算三点都在格点上的三角形共有多少个。注意三角形的三点不能共线。 分析   一共有 \((n+1)(m+1)\) 个点，所以任选三个点的总方案数为 \(\dbinom{(n+1)(m+1)}{3}\)。   三点共线的方案数等于横着的 \(+\) 竖着

「SHOI2015」超能粒子炮・改 给你\(T\)组询问，每组询问给定参数\(n,k\)，计算\(\sum\limits_{i=0}^k\dbinom{n}{i}\). \(T\leq10^5,n,k\leq10^{18}\). 这题其实是\(\operatorname{Lucas}\)定理的一个简单扩展。 首先利用\(\operatorname{Lucas}\)定理化简所求和式，由\(\dbinom{n}{m}

实际上是要问有多少对 \(i, j(j \le i)\) 满足 \(\dbinom{i}{j} \equiv 0 \pmod{P}\)，大组合数取模问题可以考虑卢卡斯定理这个有利的武器。之前一直不会证明卢卡斯定理，今天学会了证法简单记录一下。 一个引理：\((x + 1) ^ P \equiv x ^ P + 1 \pmod{P}\) 其中 \(P\) 为质数。 考虑

问题 洛谷 题目地址 给你正整数 \(n,m,p\)，其中 \(p\) 是质数。求 \(\dbinom{n}{m} \% p\)（\(\dbinom{n}{m}\) 是组合数，表示 \(n\) 选出 \(m\)）。 Lucas定理结论 若 \(p\) 是质数，则对于任意整数 \(1 \le m \le n\)，有： \[\dbinom{n}{m} \equiv \dbinom{n\%p}{m\%p} *　\dbinom{n/p}{m/p

E. BBQ Hard 题意 给定 $ n $ 和数组 $ A $ , $ B $ ， 求: \[ \sum_{i≠j}\dbinom{A_i+A_j+B_i+B_j}{A_i+A_j} \] $ n ≤ 200000 $ , $ A[i], B[i] ≤ 2000 $ 题解 亮点在于模型转化。 考虑坐标平面上的 $ n $ 个点 $ (A_i, B_i) $ , $ \dbinom{A_i+A_j+B_i+B_j}{A_i+A_j} $ 就是