讲的东西越难，越要坚持做笔记！ 以往的板子都记在剪贴板上，因为没什么推导。但群论不得不推导一堆。 置换与置换群 有限集合到自身的双射称为 置换。 e.g. 对于 \(\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\), \[ f=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\dots,a_n\\ a_{p_1},a_{p_2},\dots,a_{p_n} \end{pmat
burnside引理：$ans=\frac{1}{n} *(f(1)+...f(n))$ $f(i)$表示在i置换下本质不同排列的个数 polya定理： 利用本质不同位置的个数去计算$f(i)$ 对于长度为n的序列移动i之后显然循环节是$gcd(n,i)$ 考虑对于一个因数d,显然$gcd(n,i)=d$的个数是$phi(n/d)$
魔法手镯 题目链接：ybt金牌导航8-5-7 题目大意 给你一个长度为 n 的珠子环，然后规定一些珠子不能相邻。 然后有多少种本质不同的珠子环。 本质相同时指它可以通过旋转变成一样的。 思路 看到循环置换，和颜色，不难想到 Polya 定理。 但是它有限制条件，那我们就考虑用 Burnside 引理。 然
洛谷题面传送门 神仙题 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 题解搬运人来了 首先看到本质不同（无标号）的图计数咱们可以想到 Burnside 引理，具体来说，我们枚举一个排列 \(p\)，并统计有多少张图中的点集在置换 \(p\) 的作用下能够保持不变，记这个数目为 \(c(p)\)，那么答案就是 \(\dfrac{1}{n!}\sum\limi
在讲解 Burnside 引理之前，先要引入置换和群的概念。 置换 什么是置换？严格意义上定义，置换可以被认为是一个从自身映射到自身的双射函数。在组合数学中，通常指从 [ 1 ,
声明：本知识点为帮助大家更好地理解置换群论这一抽象的内容，一些定义中掺杂了撰写者自身的理解，和严格的数学定义有些出入，基本为数学定义的缩小解释和限制解释。 另外，统一一些符号的使用。 对集合A，|A|表示A中元素的个数 对命题p，若为真，则[p]=1；若为假，则[p]=0。如[1>2]=0，[gcd(3,5)=
Burnside引理 笔者第一次看到Burnside引理那个公式的时候一头雾水，找了本组合数学的书一看，全是概念。后来慢慢从Polya定理开始，做了一些题总算理解了。本文将从最简单的例子出发，解释Burnside引理和Polya定理。然后提供一些自己做过的和上述定理相关的题目和解题报告。 Burns
提示: 本文并非严谨的数学分析，有很多地方是自己瞎口胡的，仅供参考。有错误请不吝指出 :p 1. 群 1.1 群的概念 群 \((S,\circ)\) 是一个元素集合 \(S\) 和一种二元运算 $ \circ $ 的合称，其满足以下性质。 封闭性 对于 \(\forall a,b \in S\) ， \(\exist c \in S\) 使得 \(c = a \cir
\(这篇blog重点讨论Polya的应用, 更详细的证明请百度 .\) \(Burnside引理\) \[L=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}D(a_i)\] \(L\): 本质不同的方案数. \(G\): 置换群集合. \(a_i\): 置换群中的第 \(i\) 个置换. \(D(a_i)\): 进行 \(a_i\) 这个置换, 状态不会变化的方案 数量. 该
$这篇blog重点讨论Polya的应用, 更详细的证明请百度 .$ ___ $Burnside引理$ $$L=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}D(a_i)$$ $L$: 本质不同的方案数. $G$: 置换群集合. $a_i$: 置换群中的第 $i$ 个置换. $D(a_i)$: 进行 $a_i$ 这个置换, 状态不会变化的方案 数量. 该引理与下方内
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cmath> 4 #include<string> 5 #include<cstring> 6 #include<algorithm> 7 #include<iomanip> 8 using namespace std; 9 namespace Moxing{10 int s1,s2,s3,n,m,mod,ans
题目链接 https://www.luogu.org/problem/P4708 题解 看上去Luogu P4706-4709是Sdchr神仙出的一场比赛，一道水题和三道很有趣的题终于全过了纪念QAQ(然而后三道都看了题解) 以及为啥这题AC代码几乎全是打表。。 前置题目: BZOJ1488 求\(n\)个点无标号无向图个数。(欢迎阅读 https:/
考虑\(Burside\)引理，设\(f(x)\)表示置换拆成循环的个数为\(x\)时的答案，那么最终的结果就是\(\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^n f(gcd(i,n))}{n}\)，化简之后就是\(\displaystyle \frac{\sum_{d|n}f(d)\varphi(\frac{n}{d})}{n}\)。 考虑如何计算不动点的数量，为了方便首先把\(n=m\)的
题意 题目链接 分析 orz yyb 代码 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; #define go(u) for(int i = head[u], v = e[i].to; i; i=e[i].lst, v=e[i].to) #define rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; ++i) #define pb push_back #define re(x)
题目传送门 思路：首先是Burnside引理，要先学会这个博客。 Burnside引理我们总结一下，就是 每种置换下不动点的数量之和除以置换的总数，得到染色方案的数量。 这道题，显然每种洗牌方式都是一种置换，我们先数出每种置换的不动点。什么叫不动点，就是在这个置换下
VJ传送门 因为有每种颜色个数的限制，所以不能使用Polya 考虑退一步，使用Burnside引理求解 回忆一下Burnside引理，它需要求的是置换群中每一个置换的不动点个数，也就是施加一次置换之后新状态与原状态相同的状态个数。而施加一次置换之后状态不变的充要条件是：对于这个置换中的每一个循
