标签：复杂度 整数 竖式 相乘 master 漫画 小灰

 小灰 程序员小灰 

本期封面作者：会飞的皮卡丘

前一段时间，小灰发布了一篇有关大整数相加的漫画，没看过的小伙伴可以先看一看：

漫画：如何实现大整数相加？（修订版）

那么，大整数相乘又是如何实现的呢？

起初，小灰认为只要按照大整数相加的思路稍微做一下变形，就可以轻松实现大整数相乘。但是随着深入的学习，小灰才发现事情并没有那么简单......

—————  第二天  —————

怎样列出这个乘法竖式呢？以 93281 X 2034 为例，竖式如下：

在程序中，我们可以利用int型数组，把两个大整数按位进行存储，再把数组中的元素像小学竖式那样逐个进行计算。

这个乘法竖式的计算过程可以大体分为两步：

1.整数B的每一个数位和整数A所有数位依次相乘，得到中间结果。

2.所有中间结果相加，得到最终结果。

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下面，我们的推导会有一些烧脑，请大家坐稳扶好~~

大整数从高位到低位，被平分成了两部分。设整数1的高位部分是A，低位部分是B；整数2的高位部分是C，低位部分是D，那么有如下等式：

如果把大整数的长度抽象为n，那么：

因此，整数1与整数2 的乘积可以写成下面的形式：

如此一来，原本长度为n的大整数的1次乘积，被转化成了长度为n/2的大整数的4次乘积（AC，AD，BC，BD）。

什么是master定理呢？

master定理的英语名称是master theorem，它为许多由分治法得到的递推关系式提供了渐进时间复杂度分析。

设常数a >= 1，b > 1，如果一个算法的整体计算规模 T(n) =  a T(n / b) + f(n)，那么则有如下规律：

假设两个长度为n的大整数相乘，整体运算规模是T(n) 。

根据刚才得到的结论，两个大整数相乘被拆分成四个较小的乘积：

所以在第一次分治时，T(n)和T(n/2)有如下关系：

T(n) = 4T(n/2) + f(n)

其中f(n)是4个乘积结果相加的运算规模，f(n)的渐进时间复杂度很明显是O(n)。

把这个关系带入到master定理的公式 T(n) =  a T(n / b) + f(n) 当中，

此时 a=4， b=2。

此时，把a和b的值，以及f(n)的时间复杂度带入到master定理的第一个规律，也就是下面的规律：

发现正好符合条件。

怎么符合呢？推导过程如下：

所以我们的平均时间复杂度是：

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来源： https://blog.51cto.com/u_15127650/2835000

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