小灰 程序员小灰
前一段时间,小灰发布了一篇有关大整数相加的漫画,没看过的小伙伴可以先看一看:
那么,大整数相乘又是如何实现的呢?
起初,小灰认为只要按照大整数相加的思路稍微做一下变形,就可以轻松实现大整数相乘。但是随着深入的学习,小灰才发现事情并没有那么简单......
————— 第二天 —————
怎样列出这个乘法竖式呢?以 93281 X 2034 为例,竖式如下:
在程序中,我们可以利用int型数组,把两个大整数按位进行存储,再把数组中的元素像小学竖式那样逐个进行计算。
这个乘法竖式的计算过程可以大体分为两步:
1.整数B的每一个数位和整数A所有数位依次相乘,得到中间结果。
2.所有中间结果相加,得到最终结果。
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下面,我们的推导会有一些烧脑,请大家坐稳扶好~~
大整数从高位到低位,被平分成了两部分。设整数1的高位部分是A,低位部分是B;整数2的高位部分是C,低位部分是D,那么有如下等式:
如果把大整数的长度抽象为n,那么:
因此,整数1与整数2 的乘积可以写成下面的形式:
如此一来,原本长度为n的大整数的1次乘积,被转化成了长度为n/2的大整数的4次乘积(AC,AD,BC,BD)。
什么是master定理呢?
master定理的英语名称是master theorem,它为许多由分治法得到的递推关系式提供了渐进时间复杂度分析。
设常数a >= 1,b > 1,如果一个算法的整体计算规模 T(n) = a T(n / b) + f(n),那么则有如下规律:
假设两个长度为n的大整数相乘,整体运算规模是T(n) 。
根据刚才得到的结论,两个大整数相乘被拆分成四个较小的乘积:
所以在第一次分治时,T(n)和T(n/2)有如下关系:
T(n) = 4T(n/2) + f(n)
其中f(n)是4个乘积结果相加的运算规模,f(n)的渐进时间复杂度很明显是O(n)。
把这个关系带入到master定理的公式 T(n) = a T(n / b) + f(n) 当中,
此时 a=4, b=2。
此时,把a和b的值,以及f(n)的时间复杂度带入到master定理的第一个规律,也就是下面的规律:
发现正好符合条件。
怎么符合呢?推导过程如下:
所以我们的平均时间复杂度是:
如何做调整呢?其实很简单,连小学生都会:
这样一来,原本的4次乘法和3次加法,转变成了3次乘法和6次加法。
这样一来,时间复杂度是多少呢?
假设两个长度为n的大整数相乘,整体运算规模是T(n) 。
刚才我们说过,两个大整数相乘可以被拆分成三个较小的乘积,
所以在第一次分治时,T(n)和T(n/2)有如下关系:
T(n) = 3T(n/2) + f(n)
其中f(n)是6次加法的运算规模,f(n)的渐进时间复杂度很明显是O(n)。
此时让我们回顾一下master定理:
设常数a >= 1,b > 1,如果一个算法的整体计算规模 T(n) = a T(n / b) + f(n),那么则有如下规律:
对于T(n) = 3T(n/2) + f(n)这个关系式来说, a=3, b=2。
把a和b的值,以及f(n)的时间复杂度带入到master定理的第一个规律,也就是下面的规律:
发现正好符合条件。
怎么符合条件呢?推导过程如下:
所以我们的平均时间复杂度是:
2 和 1.59 之间的差距看似不大,但是当整数长度非常大的时候,两种方法的性能将是天壤之别。
下面展示一下实现代码。我们的代码非常复杂,在这里只作为参考,最重要的还是解决问题的思路:
需要注意的是,这段实现代码只适用于两个大整数长度相等的情况。如果想求解长度不等的整数相乘,只需要对代码做微小的改动,有兴趣的小伙伴没有试一试。
几点补充:
1. 文章最后的代码,经由网上技术博客的代码改动而来,仅做参考。
2. 关于快速傅里叶变换,有兴趣深入研究的小伙伴们可以参考《算法导论》第30章的内容。
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标签:乘积,复杂度,整数,相乘,master,漫画,长度 来源: https://blog.51cto.com/u_15127650/2835003
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