标签：include Farm Trick int maxn Treat ans now low
这道题有一个特别重要的一点，就是节点数为 n 的图只有 n 条边，于是就有一下几个性质：
1.每一个点的出度都为1。
2.一个k个节点的强连通分量都是有k条边的环，而且这个环不会通往其他的点，只可能有别的点通往这个环。
所以说，对于一个在环中的点，答案就是这个环的节点数（包括自环），对于一个不在环中的点，答案就是通往环的距离+环的节点数。
因此，首先用tarjan缩点，然后反向建立缩点后的图。为什么要反向建呢？先考虑对于上文第二种情况，暴力的做法就是每一次遇到这样的一个点，就暴力的一步一步找，直到找到环为止。然而如果整张图只有一个自环，时间复杂度就会退化到O(n2)。因此要想办法维护每一个环外的点到环的距离。如果我们反向建边，就相当于求每一个环到环外点的距离，而且因为环外点之间都只有一条边，因此路径是唯一的，所以只要bfs一次就能求出通往这个环的点的距离。
还有几点要注意：
1.就是上文求出的距离的节点编号都是缩点后的编号，和原图编号不一样，因此我们要建立一个从新图编号到原图编号的映射。又因为这个映射是一对多，所以还得开一个vector存。这个在tarjan的时候就可以顺便处理出来。
2.缩点后，自环和单点是没有区别的，所以必须先把是自环的点标记一下。代码中又开了一个vector，把是自环的点都存了下来（不知有没有更好的方法）。
1 #include<cstdio>
2 #include<iostream>
3 #include<algorithm>
4 #include<cmath>
5 #include<cstring>
6 #include<cstdlib>
7 #include<vector>
8 #include<queue>
9 #include<stack>
10 #include<cctype>
11 using namespace std;
12 #define enter puts("")
13 #define space putchar(' ')
14 #define Mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
15 typedef long long ll;
16 typedef double db;
17 const int INF = 0x3f3f3f3f;
18 const db eps = 1e-8;
19 const int maxn = 1e5 + 5;
20 inline ll read()
21 {
22 ll ans = 0;
23 char ch = getchar(), last = ' ';
24 while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
25 while(isdigit(ch)) ans = (ans << 3) + (ans << 1) + ch - '0', ch = getchar();
26 if(last == '-') ans = -ans;
27 return ans;
28 }
29 inline void write(ll x)
30 {
31 if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
32 if(x >= 10) write(x / 10);
33 putchar(x % 10 + '0');
34 }
35
36 int n;
37 vector<int> v[maxn];
38
39 int dfn[maxn], low[maxn], cnt = 0;
40 bool in[maxn];
41 stack<int> st;
42 int col[maxn], val[maxn], ccol = 0;
43 vector<int> pos[maxn]; //映射
44 void tarjan(int now)
45 {
46 dfn[now] = low[now] = ++cnt;
47 st.push(now); in[now] = 1;
48 for(int i = 0; i < (int)v[now].size(); ++i)
49 {
50 if(!dfn[v[now][i]])
51 {
52 tarjan(v[now][i]);
53 low[now] = min(low[now], low[v[now][i]]);
54 }
55 else if(in[v[now][i]]) low[now] = min(low[now], dfn[v[now][i]]);
56 }
57 if(low[now] == dfn[now])
58 {
59 int x; ccol++;
60 do
61 {
62 x = st.top();
63 in[x] = 0; st.pop();
64 col[x] = ccol;
65 pos[ccol].push_back(x);
66 val[ccol]++;
67 }while(x != now);
68 }
69 return;
70 }
71
72 vector<int> v2[maxn]; //新图
73 void newGraph(int now)
74 {
75 for(int i = 0; i < (int)v[now].size(); ++i)
76 {
77 int x = col[now], y = col[v[now][i]];
78 if(x == y) continue;
79 v2[y].push_back(x); //反向建边
80 }
81 }
82
83 vector<int> ccir; //储存是自环的点
84 int ans[maxn], ans2[maxn]; //ans[]是新图的节点编号的答案，ans2[]是原图的
85
86 void bfs(int s)
87 {
88 ans[s] = val[s];
89 queue<int> q;
90 q.push(s);
91 while(!q.empty())
92 {
93 int now = q.front(); q.pop();
94 for(int i = 0; i < v2[now].size(); ++i)
95 {
96 ans[v2[now][i]] = ans[now] + 1;
97 q.push(v2[now][i]);
98 }
99 }
100 }
101
102 int main()
103 {
104 n = read();
105 for(int i = 1; i <= n; ++i)
106 {
107 int x = read();
108 v[i].push_back(x);
109 if(i == x) ccir.push_back(i); //该点是自环
110 }
111 for(int i = 1; i <= n; ++i) if(!dfn[i]) tarjan(i);
112 for(int i = 1; i <= n; ++i) newGraph(i);
113 for(int i = 0; i < (int)ccir.size(); ++i) ans[col[ccir[i]]] = -1; //把是自环的点在新图上标记一下
114 for(int i = 1; i <= ccol; ++i) if(val[i] > 1 || ans[i] == -1) bfs(i);
115 //如果这个点是一个环（包括自环），就维护所有能到达他的点的距离
116 for(int i = 1; i <= ccol; ++i)
117 for(int j = 0; j < (int)pos[i].size(); ++j) ans2[pos[i][j]] = ans[i]; //再将答案映射到原图上
118 for(int i = 1; i <= n; ++i) write(ans2[i]), enter;
119 return 0;
120 }
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