标签：单点 覆盖 树状 -- lowbit int 区间 数据结构 任意
证明参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/297885717（抄的）
树状数组支持的操作：单点修改，区间查询（仅限于支持减法的操作，不支持的例子：max）
树状数组定义：定义C[ i ] 表示的是A [ i - lowbit(i) ] + 1 ~~ A[ i ] 之间的数据。
C[ i ]的父节点为C[ i + lowbot ( i ) ]
C[ i ]的子节点有C[ i - lowbit(i) ] , C[i - lowbit(i) -lowbit ( i - lowbit ( i ) ) ].........
术语定义：对于一个点 i ，其覆盖的点的左端点记为L(i) , L(i) = i - lowbit( i )
对于任意正整数x，x=a*2^(i+1) + 2^i，其中a>=0,i>=0，则lowbit(x)=2^i
要证：（1）x+lowbit(x)能够覆盖x
（2）x~x+lowbit(x)之间不存在能够覆盖x的数
那么 i 的父节点是 i+lowbit(i) 得证。
（3）1<=x<=y<=z，y覆盖x，z覆盖y，那么z覆盖x
（4）对于一个数x，覆盖的数有且仅有x , x-lowbit(x) , x-lowbit(x) - lowbit( x-lowbit(x) ).....
那么 i 的子节点得证。
【分析】因为具有传递覆盖的性质，且x覆盖的区间的并集是1~x，故得证。
证明：（1）设x=a*2^(i+1)+2^i，则y=x+lowbit(x) = a*2^(i+1)+2^i+2^i = (a+1)*2^(i+1)
所以 lowbit(y) >= 2^(i+1)
x-L(y) = x - (x+lowbit(x) - lowbit(y) +1)
=lowbit(y) - lowbit(x) - 1
>=2^(i+1)-2^i - 1
=2^i - 1 >= 0
故L(y)>=x，即y覆盖x，C[ i+lowbit(i) ]确实可以完全覆盖 C[ i ]
（2）设x<y,要证明对于任意的x<z<y,z不覆盖x
y=x+lowbit(x)=x + 2^i
由于x < z < y，因此z=x+b，其中b的范围是[1, 2^i-1]
显然lowbit(z) = lowbit(b)
又由于b >= lowbit(b)
因此L(z) = z-lowbit(z)+1=x+b-lowbit(b)+1>=x+1>x
（3）设1<=x<=y<=z，若y覆盖x，z覆盖y，那么z覆盖x
可证[L(y),y]属于[L(z),z]，那么因为x属于[L(y),y]，z覆盖x得证。
z可以表示为a*2^(i+1)+2^i， 其中lowbit(z) = 2^i，L(z) = a*2^(i+1)+1
因为z覆盖y，则y>=L(z)=a*2^(i+1)+1， 并且y<=z = a*2^(i+1)+2^i，
所以y可以表示为y=a*2^(i+1)+b ，其中b的取值范围是[1,2^i]；
所以lowbit(y) = lowbit(b)
并且显然有b-lowbit(b)>= 0
因此可得L(y)=y-lowbit(y)+1=a*2^(i+1)+b-lowbit(b)+1
>=a*2^(i+1)+1=L(z)
即L(y)>=L(z)
又由于y<=z
因此区间[L(y]),y] 属于区间[L(z),z]
又由于x属于[L(y),y]，因此x也属于区间[L(z),z]，即z覆盖x；
证明完毕。
（4）对于任意正整数x，覆盖x的所有整数有且仅有x，x+lowbit(x)，x+lowbit(x)+lowbit(x+lowbit(x))，...
这一序列用p来表示，即p(0)，p(1)，p(2)，p(3)，...
其中p(0) = x，当i>0时，p(i) = p(i-1)+lowbit(p(i-1))
命题可以拆开为2部分，第一部分是p序列中任意数都覆盖x，第二部分是任意不在p序列的数字都不覆盖x，接下来分别对两部分进行证明。
第一部分，p序列中任意数都覆盖x；
使用数学归纳法证明，
当i=0时，p(0)=x，显然p(0)覆盖x;
假设i=k时，p(k)覆盖x；
当i=k+1时，由p序列定义可知p(k+1)=p(k)+lowbit(p(k))，由反向覆盖性质可知，p(k+1)覆盖p(k)，另外p(k)覆盖x，由覆盖的传递性质可知，p(k+1)也覆盖x；
第二部分是，任意不在p序列的整数都不覆盖x；
也就是区间序列[1,p(0))，(p(0),p(1))，(p(1),p(2))，(p(2),p(3))，…… 中任意正整数都不覆盖x，因此只需要证明任意一个区间中的任意正整数都不覆盖x即可；
对于区间[1,p(0))的任意整数y，y<p(0)，即y<x，显然y不覆盖x;
设i是序列p中任意下标，接下来证明任意正整数y都不覆盖x，其中y属于区间(p(i),p(i+1))；
由反向覆盖的排他性可知，y不覆盖p(i)，并且L(y)>p(i)，又由于p(i)>=x，因此L(y)>x，即y也不覆盖x；
证明完毕。
下面简述单点修改和区间查询的具体操作。
查询1~x的和：
1 int query(int x){
2 int sum=0;
3 for(int i=x;i;i-=lowbit(i)){
4 sum+=tr[i];
5 }
6 return sum;
7 }
修改x点的值：
1 void add(int x,int y){
2 for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
3 tr[i]+=y;
4 }
5 }
lowbit函数：
假设x=a*2^(i+1)+2^i，lowbit(i)=2^i，根据计算机内整数是以补码存储的特性
int lowbit(int x){
return x&-x;
}
例题：https://www.acwing.com/problem/content/1266/
单点查询，区间修改。
1 #include <iostream>
2 #include <cstring>
3 #include <algorithm>
4 using namespace std;
5 const int N=100010;
6 int a[N],tr[N];
7 int n,m;
8 int lowbit(int x){
9 return x&-x;
10 }
11 void add(int x,int y){
12 for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
13 tr[i]+=y;
14 }
15 }
16 int query(int x){
17 int sum=0;
18 for(int i=x;i;i-=lowbit(i)){
19 sum+=tr[i];
20 }
21 return sum;
22 }
23 int main()
24 {
25
26 cin>>n>>m;
27 for(int i=1;i<=n;i++){
28 cin>>a[i];
29 add(i,a[i]);
30 }
31 for(int i=0;i<m;i++){
32 int k,x,y;
33 cin>>k>>x>>y;
34 if(k==0) cout<<query(y)-query(x-1)<<endl;
35 else if(k==1) add(x,y);
36 }
37 return 0;
38 }
若是每次操作是将一个数变为另一个数，则还需要维护a数组，这样的话就方便计算出差值。
另：树状数组本质上是只能完成单点修改区间查询的操作，但是结合一些方法还是能够得到较好的应用的。
比如结合差分便可实现区间修改，单点查询。
标签：单点,覆盖,树状,--,lowbit,int,区间,数据结构,任意 来源： https://www.cnblogs.com/greenofyu/p/14820778.html
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