标签：le 洛谷 LnOI2019 sum 插入 去者 区间 operatorname left

题目描述

给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，给出 \(m\) 个询问。

对于每个询问，给出一个区间 \([l,r]\)，求

\[\sum_{i=l}^{r}{\left(1+\sum_{j=l}^{r}{[a_j<a_i]}\right)a_i} \]

数据范围：\(1\le n,m\le 5\times 10^5\)，\(a_i\le 10^5\)，\(1\le l \le r \le n\)。

时间范围：\(3000\operatorname{ms}\)。

Solution 1

看题目可以发现是求区间排名，求区间和显然不好在线维护，考虑莫队。

对于已有的区间 \([l,r]\)，若向右插入一个元素，贡献为

\[\sum_{i=l}^{r}{[a_i>a_{r+1}]a_i}+a_{r+1}\left(1+\sum_{i=l}^{r}{[a_i<a_{r+1}]}\right) \]

直接维护的复杂度为 \(\Theta(n\sqrt n\log a_{\max})\)，期望得分 \(0\operatorname{pts}\)。

Solution 2

上边的带 \(\log\) 莫队是没有前途的，考虑二次离线。

考虑前缀和，向右插入一个元素，贡献为

\[\sum_{i=1}^{r}{[a_i>a_{r+1}]a_i}+a_{r+1}\left(1+\sum_{i=l}^{r}{[a_i<a_{r+1}]}\right)-\sum_{i=1}^{l-1}{[a_i>a_{r+1}]a_i}+a_{r+1}\left(1+\sum_{i=l}^{r}{[a_i<a_{r+1}]}\right) \]

定义 \(f_r=\sum_{i=1}^{r}{[a_i>a_{r+1}]a_i}+a_{r+1}\left(1+\sum_{i=l}^{r}{[a_i<a_{r+1}]}\right)\)，则贡献变为

\[f_r-\sum_{i=1}^{l-1}{[a_i>a_{r+1}]a_i}+a_{r+1}\left(1+\sum_{i=l}^{r}{[a_i<a_{r+1}]}\right) \]

将 \(f\) 数组预处理出来，后边的贡献离线下来维护，套上值域分块即可处理。

向左插入同理。

时间复杂度为 \(\Theta((n+m)\sqrt {a_{\max}})\)，加上奇特的卡常技巧，期望得分 \(100\operatorname{pts}\)。

Code

在写了。

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来源： https://www.cnblogs.com/VCLS01/p/14766001.html

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