[luogu P4705] 玩游戏

2021-05-03 18:04:37 阅读：165 来源： 互联网

标签：vector frac 玩游戏 limits int luogu sum P4705 Mod

\(\text{Problem}:\)玩游戏

\(\text{Solution}:\)

要对 \(\forall k\in[1,t]\)，求出：

\[f_{k}=\frac{1}{nm}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}(a_{i}+b_{j})^{k} \]

将 \((a_{i}+b_{j})^{k}\) 用二项式定理展开，有：

\[\begin{aligned} f_{k}&=\frac{1}{nm}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\sum\limits_{x=0}^{k}\binom{k}{x}a_{i}^{x}b_{j}^{k-x}\\ &=\frac{k!}{nm}\sum\limits_{x=0}^{k}\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{a_{i}^{x}}{x!}\sum\limits_{j=1}^{m}\frac{b_{i}^{k-x}}{(k-x)!}\\ &=\frac{k!}{nm}\sum\limits_{x=0}^{k}A_{x}B_{k-x} \end{aligned} \]

设 \(F(x)\) 为 \(A_{i}\times i!\) 的生成函数，\(G(x)\) 为 \(B_{i}\times i!\) 的生成函数，有：

\[F(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}x^{i}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{j}^{i}=\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_{j}^{i}x^{i}=\sum\limits_{j=1}^{n}\frac{1}{1-a_{j}x}\\ G(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}x^{i}\sum\limits_{j=1}^{m}b_{j}^{i}=\sum\limits_{j=1}^{m}\sum\limits_{i=0}^{\infty}b_{j}^{i}x^{i}=\sum\limits_{j=1}^{m}\frac{1}{1-b_{j}x} \]

发现是一个加和的形式，难以处理。考虑用 \(\ln\) 去转化。易知 \((\ln(1-ax))'=\frac{-a}{1-ax}\)。设 \(F_{1}(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{-a_{i}}{1-a_{i}x}\)，\(G_{1}(x)=\sum\limits_{i=1}^{m}\frac{-b_{i}}{1-b_{i}x}\)，有：

\[1-x\frac{-a}{1-ax}=\frac{1}{1-ax}\\ F(x)=-xF_{1}(x)+n\\ G(x)=-xG_{1}(x)+m \]

现在问题转化为求出 \(F_{1}(x),G_{1}(x)\)，有：

\[\begin{aligned} F_{1}(x)&=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{-a_{i}}{1-a_{i}x}\\ &=\sum\limits_{i=1}^{n}(\ln(1-a_{i}x))'\\ &=\left(\sum\limits_{i=1}^{n}\ln(1-a_{i}x)\right)'\\ &=\left(\ln\left(\prod\limits_{i=1}^{n}(1-a_{i}x)\right)\right)' \end{aligned} \]

利用分治乘法即可在 \(O(n\log^2 n)\) 的时间复杂度内求出 \(F_{1}(x)\)，对于 \(G_{1}(x)\) 也是类似。带回到原来的式子即可求出 \(A_{i},B_{i}\)。总时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。

\(\text{Code}:\)

#include <bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(3)
//#define int long long
#define ri register
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define eb emplace_back
#define is insert
#define es erase
#define vi vector<int>
#define vpi vector<pair<int,int>>
using namespace std; const int N=265010, Mod=998244353;
inline int read()
{
	int s=0, w=1; ri char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') w=-1; ch=getchar(); }
	while(ch>='0'&&ch<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48), ch=getchar();
	return s*w;
}
int n,m,K,fac[N+5],inv[N+5];
vector<int> a,b;
int rev[N],r[24][2];
inline int ksc(int x,int p) { int res=1; for(;p;p>>=1, x=1ll*x*x%Mod) if(p&1) res=1ll*res*x%Mod; return res; }
inline void Get_Rev(int T) { for(ri int i=0;i<T;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?(T>>1):0); }
inline void DFT(int T,vector<int> &s,int type)
{
	for(ri int i=0;i<T;i++) if(rev[i]<i) swap(s[i],s[rev[i]]);
	for(ri int i=2,cnt=1;i<=T;i<<=1,cnt++)
	{
		int wn=r[cnt][type];
		for(ri int j=0,mid=(i>>1);j<T;j+=i)
		{
			for(ri int k=0,w=1;k<mid;k++,w=1ll*w*wn%Mod)
			{
				int x=s[j+k], y=1ll*w*s[j+mid+k]%Mod;
				s[j+k]=x+y;
				if(s[j+k]>=Mod) s[j+k]-=Mod;
				s[j+mid+k]=x-y;
				if(s[j+mid+k]<0) s[j+mid+k]+=Mod;
			}
		}
	}
	if(!type) for(ri int i=0,inv=ksc(T,Mod-2);i<T;i++) s[i]=1ll*s[i]*inv%Mod;
}
inline void NTT(int n,int m,vector<int> &A,vector<int> B)
{
	int len=n+m;
	int T=1;
	while(T<=len) T<<=1;
	Get_Rev(T);
	A.resize(T), B.resize(T);
	for(ri int i=n+1;i<T;i++) A[i]=0;
	for(ri int i=m+1;i<T;i++) B[i]=0;
	DFT(T,A,1), DFT(T,B,1);
	for(ri int i=0;i<T;i++) A[i]=1ll*A[i]*B[i]%Mod;
	DFT(T,A,0);
	A.erase(A.begin()+len+1,A.end());
}
void GetInv(int n,vector<int> &F,vector<int> G)
{
	if(n==1) { F[0]=ksc(G[0],Mod-2); return; }
	GetInv((n+1)/2,F,G);
	vector<int> A,B;
	int T=1;
	while(T<=n+n) T<<=1;
	Get_Rev(T);
	A.resize(T), B.resize(T);
	for(ri int i=0;i<n;i++) A[i]=F[i], B[i]=G[i];
	DFT(T,A,1), DFT(T,B,1);
	for(ri int i=0;i<T;i++) A[i]=(2ll*A[i]%Mod-1ll*B[i]*A[i]%Mod*A[i]%Mod+Mod)%Mod;
	DFT(T,A,0);
	for(ri int i=0;i<n;i++) F[i]=A[i];
}
inline void GetDao(int n,vector<int> &A,vector<int> B)
{
	for(ri int i=0;i<n-1;i++) A[i]=1ll*B[i+1]*(i+1)%Mod;
	A[n-1]=0;
}
inline void GetJi(int n,vector<int> &A,vector<int> B)
{
	for(ri int i=1;i<n;i++) A[i]=1ll*B[i-1]*inv[i]%Mod*fac[i-1]%Mod;
	A[0]=0;
}
inline void GetLn(int n,vector<int> &F,vector<int> G)
{
	vector<int> A,B;
	A.resize(n), B.resize(n);
	GetDao(n,A,G);
	GetInv(n,B,G);
	NTT(n,n,A,B);
	GetJi(n,F,A);
}
void Solve(int l,int r,vector<int> &F,vector<int> &G)
{
	if(l==r)
	{
		F.resize(2);
		F[0]=1, F[1]=Mod-G[l];
		return;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	Solve(l,mid,F,G);
	vector<int> C;
	Solve(mid+1,r,C,G);
	NTT(mid-l+1,r-mid,F,C);
}
signed main()
{
	r[23][1]=ksc(3,119), r[23][0]=ksc(ksc(3,Mod-2),119);
	for(ri int i=22;~i;i--) r[i][0]=1ll*r[i+1][0]*r[i+1][0]%Mod, r[i][1]=1ll*r[i+1][1]*r[i+1][1]%Mod;
	fac[0]=1;
	for(ri int i=1;i<=N;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%Mod;
	inv[N]=ksc(fac[N],Mod-2);
	for(ri int i=N;i;i--) inv[i-1]=1ll*inv[i]*i%Mod;
	n=read(), m=read();
	a.resize(n+1), b.resize(m+1);
	for(ri int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	for(ri int i=1;i<=m;i++) b[i]=read();
	K=read(), K++;
	vector<int> A,B;
	A.resize(n+1), B.resize(m+1);
	Solve(1,n,A,a), Solve(1,m,B,b);
	if((int)A.size()>=K) A.erase(A.begin()+K,A.end());
	if((int)B.size()>=K) B.erase(B.begin()+K,B.end());
	A.resize(K), B.resize(K);
	GetLn(K,A,A), GetLn(K,B,B);
	GetDao(K,A,A), GetDao(K,B,B);
	for(ri int i=K-1;i;i--) A[i]=Mod-A[i-1]; A[0]=n;
	for(ri int i=K-1;i;i--) B[i]=Mod-B[i-1]; B[0]=m;
	for(ri int i=0;i<K;i++) A[i]=1ll*A[i]*inv[i]%Mod, B[i]=1ll*B[i]*inv[i]%Mod;
	NTT(K,K,A,B);
	for(ri int i=1,iv=ksc(1ll*n*m%Mod,Mod-2);i<K;i++)
	{
		printf("%d\n",1ll*fac[i]*iv%Mod*A[i]%Mod)%Mod;
	}
	return 0;
}

标签：vector,frac,玩游戏,limits,int,luogu,sum,P4705,Mod
来源： https://www.cnblogs.com/zkdxl/p/14727838.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。

ICode9

[luogu P4705] 玩游戏