关于有向图强连通分量的一点想法

2021-04-11 12:03:48 阅读：162 来源： 互联网

前言

在 20210410 宏帆机房，gm讲强连通分量和缩点的时候，因为大家对于这个知识点的理解和想法不同，产生了激烈的争吵(诡辩)。

本来就很蒻的zyq在听了各位巨佬的讨论后，更加不知所云，以至于露出了这样的表情

（还被gm看见了就很淦）
于是 zyq 在第二天，又打开了强连通分量的 PPT , 然后把代码又打了打，在草稿纸上进行了推算，感觉加深了理解，也有了一些自己的看法和解释，如果又巨佬发现这篇 blog 有什么问题，或者有自己的看法和见解，欢迎评论鸭~

前置芝士

~~DFS~~，割点，割边，点双连通块，边双连通块

点双连通块 DFS 代码

//谢谢lym（062）大巨佬帮忙改代码
void dfs(int u, int fa){
	low[u] = dfn[u] = ++ cnt;
	for(int i = head[u]; i; i = Next[i]){
		int v = tail[i];
		if(v == fa)continue;
		if(!dfn[v]){
			q.push(make_pair(u, v));
			dfs(v, u);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
			if(dfn[u] <= low[v]){
				cntcnt ++;
				do{
					flagf = q.top();
					if(flagf.first > flagf.second)
						swap(flagf.first, flagf.second);
					q.pop();
					gb[cntcnt].push_back(flagf);
				}
				while(flagf.first != u || flagf.second != v);
			}
		}
		else{
			low[u] = min(low[u], dfn[v]); 
			if(dfn[v] < dfn[u]){
				q.push(make_pair(u, v));
			}
		}
	}
}

边双连通块 DFS 代码

void dfs(int u, int fa){
	low[u] = dfn[u] = ++ cnt;
	s.push(u);
	for(int i = head[u]; i; i = Next[i]){
		int v = tail[i];
		if(v == fa)continue;
		if(!dfn[v]){
			dfs(v, u);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
			if(dfn[u] < low[v]){
				bridge[i] = bridge[i ^ 1] = 1;
			}
		}
		else{
			low[u] = min(low[u], dfn[v]);
		}
	}
	if(dfn[u] == low[u]){
		cntans ++;
		++ cntnum; 
		int flag;
		do{
			flag = s.top();
			s.pop();
			block[flag] = cntnum;
		}
		while(flag != u);
	} 
}

强连通分量

关于边

在 gm 的 PPT 开头放了这样一张图，其中将遍历 \(e(u, v)\) （表示从 \(u\) 到 \(v\) 的一条有向边）时，\(dfn(v) \ne 0\) 的情况分类讨论并下了定义

图片1.png

那么，在这三种情况当中有且只有回退边会形成环

而向前边，重复访问了 \(u\) 结点的某个子孙，更新值没有意义，对于该结点的讨论已经在之前完成。

但是在后文的代码中，在dfn[v] != 0的时候，直接对于 block[v] != 0 进行了 low[u] = min(low[u], dfn[v]);这又是为何呢？因为子孙的 dfn 值是不可能大于\(u\)，故无需分类讨论，直接比 min 即可。
对于横插边

\(u\) 结点和 \(v\) 结点，两结点互无关系，两节点不可能在同一环内，也无法从 \(v\) 遍历到 \(u\)

证明：如果可以从 \(v\) 遍历到 \(u\) , 那么 \(v\) 结点一定是 u 结点的祖先，与两结点互无关系相违背。

所以两个结点并不处于同一强连通子图。

关于 low 值的定义和解释

~~在听完各位巨佬的争辩后，蒟蒻 zyq 对于 low 值的定义一头雾水，虽然现在基本忘记了各位巨佬在争什么了~~

在 gm 的 ppt 上对于 low 值的定义是这样的

从本质上讲，low参数是用来告诉我们从u出发，能形成环的“最高辈份”祖先结点是谁。

个人觉得：即使在有向图中，加入了上面的三种边的概念后依旧是没有问题的。

对于回退边 \(v\) 本来就是 \(u\) 的祖先 'low[u] = min(low[u], dfn[v]);' 没有问题
对于向前边，前文已经解释了 low[u] = min(low[u], dfn[v]); 并不会更新准确的值，只是一个简化的写法。
对于横插边，因为'v' 与 'u' 没有关系，所以只需要在特判排除。又因为两个点不在同一棵子树中，两点不可能有环，也不可能在同一强连通子图中，只需要if(!block[v])判断即可。

~~所以 zyq 上课的时候为什么会对 low值产生疑问，可能跟 zyq 是个大SB 有关~~

最后贴上一道 “很板” 的强连通分量 + 缩点的代码

「USACO 2003 Fall」受欢迎的牛

#include <stack>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1e4 + 5;
const int maxm = 1e5 + 5;

int n, m;
int head[maxn], tail[maxm], Next[maxm];
int tot = 1;
int low[maxn], dfn[maxn];
int cnt;
bool vis[maxn];
int cntnum;
int block[maxn];
int head2[maxn], tail2[maxm], Next2[maxm];
bool ib[maxn];   //is begin 
bool vvis[maxn][maxn];

stack<int> s;

void add(int x, int y){
	tot ++;
	tail[tot] = y;
	Next[tot] = head[x];
	head[x] = tot;
}

void add2(int x, int y){
	tot ++;
	tail2[tot] = y;
	Next2[tot] = head2[x];
	head2[x] = tot;
}
void dfs(int u, int fa){
	low[u] = dfn[u] = ++cnt;   
	s.push(u);
	vis[u] = 1;
	for(int i = head[u]; i; i = Next[i]){
		int v = tail[i];
		if(!dfn[v]){   //这个子节点没有访问 
			dfs(v, u);
			low[u] = min(low[u], low[v]);  //回溯 
		}
		else if(!block[v]){   //这个结点没有被分入任意一个强连通子图 
			low[u] = min(low[u], dfn[v]);
		}
	}
	if(low[u] == dfn[u]){
		cntnum ++;
		int x;
		do{
			x = s.top();
			s.pop();
			block[x] = cntnum;
		}
		while(x != u); 
	}
}
int main() {
	scanf("%d %d", &n, &m);
	int x, y;
	for(int i = 1; i <= m; i ++){
		scanf("%d %d", &x, &y);
		ib[x] = 1;   //可以从这个点出发至其他点 
		add(x, y); 
	}
	for(int i = 1; i <= n; i ++){
		if(!dfn[i] && ib[i]){
			dfs(i, 0);   
		}
	}
	tot = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i ++){
		for(int j = head[i]; j; j = Next[j]){
			int v = tail[j];
			if(block[v] == block[i] || vvis[block[i]][block[v]])continue;
			add2(block[i], block[v]);
			vvis[block[i]][block[v]] = 1;
		}
	}
	for(int i = 1; i <= n; i ++){
		if(!dfn[i]){  //在所有点都遍历完成后，依旧没有遍历到，说明这个点与其它任何点都没有连接 
			printf("0");
			return 0;
		} 
	}
	int sum = 0;
	int side = 0;
	for(int i = 1; i <= cntnum; i ++){
		if(!head2[i]){
			sum ++;
			side = i;
		}
	}
	int ans = 0;
	if(sum != 1){
		printf("0");
		return 0;
	}
	for(int i = 1; i <= n; i ++){
		if(block[i] == side){
			ans ++;
		}
	}
	printf("%d", ans);
	return 0;
}

结语

笔者已经家长叫笔者搞 whk 的声音了，可能明天会做一些没有那么板的题，886~

标签：连通,有向图,min,int,结点,dfn,maxn,low,分量
来源： https://www.cnblogs.com/Nefelibata/p/14643313.html

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