「JLOI2015」骗我呢

2021-04-03 23:35:42 阅读：217 来源： 互联网

标签：直线 JLOI2015 int 开头对称 fac 我们

由题意，每一行内的数单调递增。又因为 \(0 \leqslant a_{i,j} \leqslant m\) 限制了这些数的取值范围。

那么我们相当于在 \(m + 1\) 个数中选 \(m\) 个数。必然有两个之间相差 \(2\)，其余的数连续。

我们设 \(f_{i,j}\) 表示第 \(i\) 行中，被舍弃掉的数是 \(j\) 的方案数。

那么则有

\[\begin{aligned} f_{i,j} &= \sum_{k=0}^{j+1} f_{i-1,k} \\ &=\sum_{k=0}^{j} f_{i-1,k} + f_{i-1,j+1} \\ &= f_{i,j-1} + f_{i-1,j+1} \end{aligned} \]

这个式子看上去是一个表格中的递推，我们将其画到网格图中（第 \(i\) 行第 \(j\) 列）：

这个样子很丑，我们尽量将转移变成水平/垂直的。

虚线为原本的转移，将其改成向上再向右。

这样就有一点像计数问题了。

我们在两侧加上两条直线：

不难发现，结果即为从 \((0,0)\) 到 \((n+m,n)\) ，不经过直线 \(A:y=x+1\) 和 \(B:y=x-m-2\) 的路径总数。

考虑用组合数算这个东西。我们定义由 \(A\) 和 \(B\) 组成的序列表示先经过 \(A\) 或 \(B\) 的方案。如 \(AABABBAB\)。

我们发现，连续经过同一条直线没有影响，所以把所有的相同部分全部缩成一个。

显然，它要么以 \(A\) 开头，要么以 \(B\) 开头。

我们直接用总方案数（ \(\tbinom{2n+m+1}{n}\) ） - \(A\) 开头的方案数 - \(B\) 开头的方案数。

但是后两者又该怎么计算呢？

我们使用对称。

我们将直线 \(B\) 关于直线 \(A\) 对称过去。过 \(A\) 再过 \(B\) 实质上就是不停的跨越直线的过程。我们一直对称下去。当我们发现，对称过去的某个点在回来之后并不属于第一象限了，说明这条路径不合法。

容斥。\(A\) 开头相当于 \(A+AB-BA-BAB+ABA+ABAB \cdots\)。 \(B\) 开头同理。

我们每次对称都必然会使得距离加一，所以最终一定能找到答案。

#include <cstdio>
const int ccf = 1e9 + 7, N = 3e6 + 5;
int n, m, nn, fac[N], inv[N];
void init() {
    fac[0] = fac[1] = inv[0] = inv[1] = 1;
    nn = n * 2 + m + 1;
    for (int i = 2; i <= nn; i++) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % ccf;
    for (int i = 2; i <= nn; i++) inv[i] = 1ll * (ccf - ccf / i) * inv[ccf % i] % ccf;
    for (int i = 2; i <= nn; i++) inv[i] = 1ll * inv[i] * inv[i - 1] % ccf;
}
int C(int n, int m) { return 1ll * fac[n] * inv[m] % ccf * inv[n - m] % ccf; }
int Mir(int x, int y, int dir) {
    if (x < 0 || y < 0) return 0;
    int delta = dir ? -m - 2 : 1;
    return (C(x + y, y) - Mir(y + delta, x - delta, dir ^ 1) + ccf) % ccf;
}
int main(void) {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    init();
    int ans = C(nn, n);
    ans = (ans - Mir(n - 1, n + m + 2, 0) + ccf) % ccf;
    ans = (ans - Mir(n + m + 2, n - 1, 1) + ccf) % ccf;
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

标签：直线,JLOI2015,int,开头,对称,fac,我们
来源： https://www.cnblogs.com/Lewis-Li/p/JLOI2015_pwn.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。

ICode9

「JLOI2015」骗我呢