标签:SGX X1 定理 SGXi SGX2 SGX1 X2 转载 SG
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SG定理
初始问题
给定
堆石子,每堆有 个石子。两个人轮流操作,每轮可以选一堆石子来取石子,可以取完,但不能不取。无法操作者输。问先手是否必胜。SG定理
相信很多人都已经知道了这个定理。
假设现在有一个有向无环的游戏图
,若 则表示状态 可以转移到状态 .我们还要定义必胜态与必败态的概念。
必胜态表示,从当前状态可以转移到一个必败态。
必败态表示,从当前状态无法转移到一个必败态。
我们规定整个图不存在平局态。
设
是一个作用于集合的函数。 的值为最小的自然数 ,满足 .
最终若
为0,则 为一个必败态。否则 为必胜态。证明
我们归纳的来证明这个定理。
假设对于之前的状态这是成立的。
现在新增了一个状态 .
若 ,则必然存在一个 满足 .因为 ,所以 为一个必败态。因此 为一个必胜态。
若
,则 .也就是说他只能转移到必胜态。因此 为一个必败态。最终由于没有出边的状态
为必败态, .所以归纳成立。回归原问题
好像有了上面的定理我们就能做了???其实是不能的。
因为原问题中我们的一个状态
.状态数实在是太多了。根本不可能存的下来。但是假如只有一堆石子的话,
最终化简得
.然而并没有什么卵用
原问题是多个堆。但是两两之间没有什么影响啊??能不能缩?
Another theorem
设一个游戏间的运算
, 表示将 与 复合。即这两个游戏相互不影响,但在同一个游戏 中。设游戏
记 表示 .
则 .
Why?
Proof
首先考虑游戏
设 .
因为一次只能选择一个单独的游戏进行,所以 具有的转移其实是
.
其中 为 的一个转移。
设
为 的转移集合。设
.那么为了证明
,我们事实上只需要证明两条性质。.
证明第一条性质
我们同样需要采用归纳法来证明。
.
记
, 的最高位为 .则必存在 的第 位为1.因为
,所以必然存在 .因为
又因为存在
,因为
,所以 .所以
.
证明第二条性质
我们现在用反证法。
假设
那么
设
那么
那么就有
因为
矛盾
所以不存在
得证。
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