标签：ETS 05 NA EWMA SV mu GARCH 模型 ARMA

原文链接：http://tecdat.cn/?p=20015 

 

本文将说明单变量和多变量金融时间序列的不同模型，特别是条件均值和条件协方差矩阵、波动率的模型。

均值模型

本节探讨条件均值模型。

iid模型

我们从简单的iid模型开始。iid模型假定对数收益率xt为N维高斯时间序列：

均值和协方差矩阵的样本估计量分别是样本均值

和样本协方差矩阵

我们从生成数据开始，熟悉该过程并确保估计过程给出正确的结果（即完整性检查）。然后使用真实的市场数据并拟合不同的模型。

让我们生成合成iid数据并估算均值和协方差矩阵：

1.   # 生成综合收益数据
2.   X <- rmvnorm(n = T, mean = mu, sigma = Sigma)
3.   # 样本估计（样本均值和样本协方差矩阵）
4.   mu_sm <- colMeans(X)
5.   Sigma_scm <- cov(X)
6.    
7.   # 误差
8.   norm(mu_sm - mu, "2")
9.   #> [1] 2.44
10.   norm(Sigma_scm - Sigma, "F")
11.   #> [1] 70.79

现在，让我们针对不同数量的观测值T再做一次：

1.   # 首先生成所有数据
2.    
3.   X <- rmvnorm(n = T_max, mean = mu, sigma = Sigma)
4.    
5.   # 现在遍历样本的子集
6.    
7.   for (T_ in T_sweep) {
8.    
9.   # 样本估算
10.   mu_sm <- colMeans(X_)
11.   Sigma_scm <- cov(X_)
12.   # 计算误差
13.   error_mu_vs_T <- c(error_mu_vs_T, norm(mu_sm - mu, "2"))
14.   error_Sigma_vs_T <- c(error_Sigma_vs_T, norm(Sigma_scm - Sigma, "F"))
15.    
16.   # 绘图
17.   plot(T_sweep, error_mu_vs_T,
18.   main = "mu估计误差",

1.   plot(T_sweep, error_Sigma_vs_T
2.   main = "Sigma估计中的误差", ylab = "误差"

单变量ARMA模型

对数收益率xt上的ARMA（p，q）模型是

其中wt是均值为零且方差为σ2的白噪声序列。模型的参数是系数ϕi，θi和噪声方差σ2。

请注意，ARIMA（p，d，q）模型是时间差分为d阶的ARMA（p，q）模型。因此，如果我们用xt代替对数价格，那么先前的对数收益模型实际上就是ARIMA（p，1，q）模型，因为一旦对数价格差分，我们就获得对数收益。

rugarch生成数据 

我们将使用rugarch包  生成单变量ARMA数据，估计参数并进行预测。

首先，我们需要定义模型：

1.    
2.   #指定具有给定系数和参数的AR（1）模型
3.    
4.   #>
5.   #> *----------------------------------*
6.   #> * ARFIMA Model Spec *
7.   #> *----------------------------------*
8.   #> Conditional Mean Dynamics
9.   #> ------------------------------------
10.   #> Mean Model : ARFIMA(1,0,0)
11.   #> Include Mean : TRUE
12.   #>
13.   #> Conditional Distribution
14.   #> ------------------------------------
15.   #> Distribution : norm
16.   #> Includes Skew : FALSE
17.   #> Includes Shape : FALSE
18.   #> Includes Lambda : FALSE
19.    
20.    
21.   #> Level Fixed Include Estimate LB UB
22.   #> mu 0.01 1 1 0 NA NA
23.   #> ar1 -0.90 1 1 0 NA NA
24.   #> ma 0.00 0 0 0 NA NA
25.   #> arfima 0.00 0 0 0 NA NA
26.   #> archm 0.00 0 0 0 NA NA
27.   #> mxreg 0.00 0 0 0 NA NA
28.   #> sigma 0.20 1 1 0 NA NA
29.   #> alpha 0.00 0 0 0 NA NA
30.   #> beta 0.00 0 0 0 NA NA
31.   #> gamma 0.00 0 0 0 NA NA
32.   #> eta1 0.00 0 0 0 NA NA
33.   #> eta2 0.00 0 0 0 NA NA
34.   #> delta 0.00 0 0 0 NA NA
35.   #> lambda 0.00 0 0 0 NA NA
36.   #> vxreg 0.00 0 0 0 NA NA
37.   #> skew 0.00 0 0 0 NA NA
38.   #> shape 0.00 0 0 0 NA NA
39.   #> ghlambda 0.00 0 0 0 NA NA
40.   #> xi 0.00 0 0 0 NA NA
41.    
42.   fixed.pars
43.   #> $mu
44.   #> [1] 0.01
45.   #>
46.   #> $ar1
47.   #> [1] -0.9
48.   #>
49.   #> $sigma
50.   #> [1] 0.2
51.    
52.   true_params
53.   #> mu ar1 sigma
54.   #> 0.01 -0.90 0.20

然后，我们可以生成时间序列：

1.    
2.   # 模拟一条路径
3.    
4.   apath(spec, n.sim = T)
5.    
6.    
7.   # 转换为xts并绘图
8.   plot(synth_log_returns, main = "ARMA模型的对数收益率"
9.   plot(synth_log_prices, main = "ARMA模型的对数价格"

ARMA模型

现在，我们可以估计参数（我们已经知道）：

1.   # 指定AR（1）模型
2.   arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))
3.    
4.   # 估计模型
5.    
6.   #> mu ar1 sigma
7.   #> 0.0083 -0.8887 0.1987
8.    
9.   #> mu ar1 sigma
10.   #> 0.01 -0.90 0.20
11.    
12.    

我们还可以研究样本数量T对参数估计误差的影响：

1.   # 循环
2.    
3.   for (T_ in T_sweep) {
4.   estim_coeffs_vs_T <- rbind(estim_coeffs_vs_T, coef(arma_fit))
5.   error_coeffs_vs_T <- rbind(error_coeffs_vs_T, abs(coef(arma_fit) - true_params)/true_params)
6.    
7.    
8.   # 绘图
9.   matplot(T_sweep, estim_coeffs_vs_T,
10.   main = "估计的ARMA系数", xlab = "T", ylab = "值",

1.   matplot(T_sweep, 100*error_coeffs_vs_T,
2.   main = "估计ARMA系数的相对误差", xlab = "T", ylab = "误差 (%)",

首先，真正的μ几乎为零，因此相对误差可能显得不稳定。在T = 800个样本之后，其他系数得到了很好的估计。

ARMA预测

为了进行健全性检查，我们现在将比较两个程序包 Forecast 和 rugarch的结果：

1.    
2.   # 指定具有给定系数和参数的AR（1）模型
3.   spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE),
4.   fixed.pars = list(mu = 0.005, ar1 = -0.9, sigma = 0.1))
5.    
6.   # 生成长度为1000的序列
7.   arfima(arma_fixed_spec, n.sim = 1000)@path$seriesSim
8.    
9.   # 使用 rugarch包指定和拟合模型
10.   spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))
11.    
12.   # 使用包“ forecast”拟合模型
13.    
14.   #> ARIMA(1,0,0) with non-zero mean
15.   #>
16.   #> Coefficients:
17.   #> ar1 mean
18.   #> -0.8982 0.0036
19.   #> s.e. 0.0139 0.0017
20.   #>
21.   #> sigma^2 estimated as 0.01004: log likelihood=881.6
22.   #> AIC=-1757.2 AICc=-1757.17 BIC=-1742.47
23.    
24.   # 比较模型系数
25.    
26.   #> ar1 intercept sigma
27.   #> -0.898181148 0.003574781 0.100222964
28.    
29.   #> mu ar1 sigma
30.   #> 0.003605805 -0.898750138 0.100199956

确实，这两个软件包给出了相同的结果。

ARMA模型选择 

在先前的实验中，我们假设我们知道ARMA模型的阶数，即p = 1和q = 0。实际上，阶数是未知的，因此必须尝试不同的阶数组合。阶数越高，拟合越好，但这将不可避免地导致过度拟合。已经开发出许多方法来惩罚复杂性的增加以避免过度拟合，例如AIC，BIC，SIC，HQIC等。

1.    
2.    
3.   # 尝试不同的组合
4.    
5.   # 查看排名
6.   #> AR MA Mean ARFIMA BIC converged
7.   #> 1 1 0 1 0 -0.38249098 1
8.   #> 2 1 1 1 0 -0.37883157 1
9.   #> 3 2 0 1 0 -0.37736340 1
10.   #> 4 1 2 1 0 -0.37503980 1
11.   #> 5 2 1 1 0 -0.37459177 1
12.   #> 6 3 0 1 0 -0.37164609 1
13.   #> 7 1 3 1 0 -0.37143480 1
14.   #> 8 2 2 1 0 -0.37107841 1
15.   #> 9 3 1 1 0 -0.36795491 1
16.   #> 10 2 3 1 0 -0.36732669 1
17.   #> 11 3 2 1 0 -0.36379209 1
18.   #> 12 3 3 1 0 -0.36058264 1
19.   #> 13 0 3 1 0 -0.11875575 1
20.   #> 14 0 2 1 0 0.02957266 1
21.   #> 15 0 1 1 0 0.39326050 1
22.   #> 16 0 0 1 0 1.17294875 1
23.    
24.   #选最好的
25.    
26.   armaOrder
27.   #> AR MA
28.   #> 1 0

在这种情况下，由于观察次数T = 1000足够大，因此阶数被正确地检测到。相反，如果尝试使用T = 200，则检测到的阶数为p = 1，q = 3。

ARMA预测 

一旦估计了ARMA模型参数ϕi  ^ i和θ^j，就可以使用该模型预测未来的值。例如，根据过去的信息对xt的预测是

并且预测误差将为xt-x ^ t = wt（假设参数已被估计），其方差为σ2。软件包 rugarch 使对样本外数据的预测变得简单：

1.   # 估计模型（不包括样本外）
2.    
3.   coef(arma_fit)
4.   #> mu ar1 sigma
5.   #> 0.007212069 -0.898745183 0.200400119
6.    
7.   # 整个样本外的预测对数收益
8.   forecast_log_returns <- xts(arma_fore@forecast$seriesFor[1, ], dates_out_of_sample)
9.    
10.   # 恢复对数价格
11.   prev_log_price <- head(tail(synth_log_prices, out_of_sample+1), out_of_sample)
12.    
13.   # 对数收益图
14.   plot(cbind("fitted" = fitted(arma_fit),
15.    
16.   # 对数价格图
17.   plot(cbind("forecast" = forecast_log_prices,
18.    
19.   main = "对数价格预测", legend.loc = "topleft")

多元VARMA模型

对数收益率xt上的VARMA（p，q）模型是

其中wt是具有零均值和协方差矩阵Σw的白噪声序列。该模型的参数是矢量/矩阵系数ϕ0，Φi，Θj和噪声协方差矩阵Σw。

 

比较

让我们首先加载S＆P500：

1.    
2.   # 加载标普500数据
3.    
4.   head(SP500_index_prices)
5.   #> SP500
6.   #> 2012-01-03 1277.06
7.   #> 2012-01-04 1277.30
8.   #> 2012-01-05 1281.06
9.   #> 2012-01-06 1277.81
10.   #> 2012-01-09 1280.70
11.   #> 2012-01-10 1292.08
12.    
13.   # 准备训练和测试数据
14.    
15.   logreturns_trn <- logreturns[1:T_trn]
16.   logreturns_tst <- logreturns[-c(1:T_trn)]
17.    
18.   # 绘图
19.   { plot(logreturns,
20.   addEventLines(xts("训练"

现在，我们使用训练数据（即，对于t = 1，…，Ttrnt = 1，…，Ttrn）来拟合不同的模型（请注意，通过指示排除了样本外数据 out.sample = T_tst）。特别是，我们将考虑iid模型，AR模型，ARMA模型以及一些ARCH和GARCH模型（稍后将对方差建模进行更详细的研究）。

1.    
2.   # 拟合i.i.d.模型
3.    
4.   coef(iid_fit)
5.   #> mu sigma
6.   #> 0.0005712982 0.0073516993
7.   mean(logreturns_trn)
8.   #> [1] 0.0005681388
9.   sd(logreturns_trn)
10.   #> [1] 0.007360208
11.    
12.   # 拟合AR（1）模型
13.    
14.   coef(ar_fit)
15.   #> mu ar1 sigma
16.   #> 0.0005678014 -0.0220185181 0.0073532716
17.    
18.   # 拟合ARMA（2,2）模型
19.    
20.   coef(arma_fit)
21.   #> mu ar1 ar2 ma1 ma2 sigma
22.   #> 0.0007223304 0.0268612636 0.9095552008 -0.0832923604 -0.9328475211 0.0072573570
23.    
24.   # 拟合ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型
25.    
26.   coef(arch_fit)
27.   #> mu ar1 ma1 omega alpha1
28.   #> 6.321441e-04 8.720929e-02 -9.391019e-02 4.898885e-05 9.986975e-02
29.    
30.   #拟合ARMA（0,0）+ARCH（10）模型
31.    
32.   coef(long_arch_fit)
33.   #> mu omega alpha1 alpha2 alpha3 alpha4 alpha5
34.   #> 7.490786e-04 2.452099e-05 6.888561e-02 7.207551e-02 1.419938e-01 1.909541e-02 3.082806e-02
35.   #> alpha6 alpha7 alpha8 alpha9 alpha10
36.   #> 4.026539e-02 3.050040e-07 9.260183e-02 1.150128e-01 1.068426e-06
37.    
38.   # 拟合ARMA（1,1）+GARCH（1,1）模型
39.    
40.   coef(garch_fit)
41.   #> mu ar1 ma1 omega alpha1 beta1
42.   #> 6.660346e-04 9.664597e-01 -1.000000e+00 7.066506e-06 1.257786e-01 7.470725e-01

我们使用不同的模型来预测对数收益率：

1.   # 准备预测样本外周期的对数收益
2.    
3.   # i.i.d.模型预测
4.   forecast(iid_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
5.   dates_out_of_sample)
6.    
7.   # AR（1）模型进行预测
8.   forecast(ar_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
9.   dates_out_of_sample)
10.    
11.   # ARMA（2,2）模型进行预测
12.   forecast(arma_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
13.   dates_out_of_sample)
14.    
15.   # 使用ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型进行预测
16.   forecast(arch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
17.   dates_out_of_sample)
18.    
19.   # ARMA（0,0）+ARCH（10）模型预测
20.   forecast(long_arch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
21.   dates_out_of_sample)
22.    
23.   # ARMA（1,1）+GARCH（1,1）模型预测
24.   forecast(garch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
25.   dates_out_of_sample)

我们可以计算不同模型的预测误差（样本内和样本外）：

1.    
2.   print(error_var)
3.   #> in-sample out-of-sample
4.   #> iid 5.417266e-05 8.975710e-05
5.   #> AR(1) 5.414645e-05 9.006139e-05
6.   #> ARMA(2,2) 5.265204e-05 1.353213e-04
7.   #> ARMA(1,1) + ARCH(1) 5.415836e-05 8.983266e-05
8.   #> ARCH(10) 5.417266e-05 8.975710e-05
9.   #> ARMA(1,1) + GARCH(1,1) 5.339071e-05 9.244012e-05

我们可以观察到，随着模型复杂度的增加，样本内误差趋于变小（由于拟合数据的自由度更高），尽管差异可以忽略不计。重要的实际上是样本外误差：我们可以看到，增加模型复杂度可能会得出较差的结果。就预测收益的误差而言，似乎最简单的iid模型已经足够了。

最后，让我们展示一些样本外误差的图表：

1.    
2.   plot(error,
3.   main = "不同模型收益预测的样本外误差",

请注意，由于我们没有重新拟合模型，因此随着时间的发展，误差越大（对于ARCH建模尤其明显）。

滚动窗口比较

让我们首先通过一个简单的示例比较静态预测与滚动预测的概念：

1.   #ARMA（2,2）模型
2.   spec <- spec(mean.model = list(armaOrder = c(2,2), include.mean = TRUE))
3.    
4.   # 静态拟合和预测
5.   ar_static_fit <- fit(spec = spec, data = logreturns, out.sample = T_tst)
6.    
7.   #滚动拟合和预测
8.   modelroll <- aroll(spec = spec, data = logreturns, n.ahead = 1,
9.    
10.    
11.   # 预测图
12.   plot(cbind("static forecast" = ar_static_fore_logreturns,
13.   main = "使用ARMA（2,2）模型进行预测", legend.loc = "topleft")
14.    
15.   # 预测误差图
16.    
17.   plot(error_logreturns, col = c("black", "red"), lwd = 2,
18.   main = "ARMA（2,2）模型的预测误差", legend.loc = "topleft")

我们可以清楚地观察到滚动窗口过程对时间序列的影响。

现在，我们可以在滚动窗口的基础上重做所有模型的所有预测：

1.   # 基于i.i.d.模型的滚动预测
2.   roll(iid_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_t
3.    
4.   # AR（1）模型的滚动预测
5.   roll(ar_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
6.    
7.   # ARMA（2,2）模型的滚动预测
8.   roll(arma_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
9.    
10.   # ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型的滚动预测
11.   roll(arch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
12.   refit.every = 50, refit.win
13.    
14.   # ARMA（0,0）+ ARCH（10）模型的滚动预测
15.   roll(long_arch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
16.   refit.every = 50,
17.    
18.   # ARMA（1,1）+ GARCH（1,1）模型的滚动预测
19.   roll(garch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
20.   refit.every = 50, refit.window

让我们看看滚动基准情况下的预测误差：

1.    
2.   print(rolling_error_var)
3.   #> in-sample out-of-sample
4.   #> iid 5.417266e-05 8.974166e-05
5.   #> AR(1) 5.414645e-05 9.038057e-05
6.   #> ARMA(2,2) 5.265204e-05 8.924223e-05
7.   #> ARMA(1,1) + ARCH(1) 5.415836e-05 8.991902e-05
8.   #> ARCH(10) 5.417266e-05 8.976736e-05
9.   #> ARMA(1,1) + GARCH(1,1) 5.339071e-05 8.895682e-05

和一些图表：

1.    
2.   plot(error_logreturns,
3.   main = "不同模型的滚动预测误差", legend.loc = "topleft"

我们看到，现在所有模型都拟合了时间序列。此外，我们在模型之间没有发现任何显着差异。

我们最终可以比较静态误差和滚动误差：

1.   barplot(rbind(error_var[, "out-of-sample"], rolling_error_var[, "out-of-sample"])
2.   col = c("darkblue", "darkgoldenrod"),
3.   legend = c("静态预测", "滚动预测"),
4.    

我们可以看到，滚动预测在某些情况下是必须的。因此，实际上，我们需要定期进行滚动预测改进。

方差模型

ARCH和GARCH模型

对数收益率残差wt的ARCH（m）模型为

其中zt是具有零均值和恒定方差的白噪声序列，而条件方差σ2t建模为

其中，m为模型阶数，ω> 0，αi≥0为参数。

GARCH（m，s）模型使用σ2t上的递归项扩展了ARCH模型：

其中参数ω> 0，αi≥0，βj≥0需要满足∑mi =1αi+ ∑sj = 1βj≤1的稳定性。

rugarch生成数据 

首先，我们需要定义模型：

1.    
2.   #指定具有给定系数和参数的GARCH模型
3.    
4.   #>
5.   #> *---------------------------------*
6.   #> * GARCH Model Spec *
7.   #> *---------------------------------*
8.   #>
9.   #> Conditional Variance Dynamics
10.   #> ------------------------------------
11.   #> GARCH Model : sGARCH(1,1)
12.   #> Variance Targeting : FALSE
13.   #>
14.   #> Conditional Mean Dynamics
15.   #> ------------------------------------
16.   #> Mean Model : ARFIMA(1,0,0)
17.   #> Include Mean : TRUE
18.   #> GARCH-in-Mean : FALSE
19.   #>
20.   #> Conditional Distribution
21.   #> ------------------------------------
22.   #> Distribution : norm
23.   #> Includes Skew : FALSE
24.   #> Includes Shape : FALSE
25.   #> Includes Lambda : FALSE
26.    
27.   #> Level Fixed Include Estimate LB UB
28.   #> mu 0.005 1 1 0 NA NA
29.   #> ar1 -0.900 1 1 0 NA NA
30.   #> ma 0.000 0 0 0 NA NA
31.   #> arfima 0.000 0 0 0 NA NA
32.   #> archm 0.000 0 0 0 NA NA
33.   #> mxreg 0.000 0 0 0 NA NA
34.   #> omega 0.001 1 1 0 NA NA
35.   #> alpha1 0.300 1 1 0 NA NA
36.   #> beta1 0.650 1 1 0 NA NA
37.   #> gamma 0.000 0 0 0 NA NA
38.   #> eta1 0.000 0 0 0 NA NA
39.   #> eta2 0.000 0 0 0 NA NA
40.   #> delta 0.000 0 0 0 NA NA
41.   #> lambda 0.000 0 0 0 NA NA
42.   #> vxreg 0.000 0 0 0 NA NA
43.   #> skew 0.000 0 0 0 NA NA
44.   #> shape 0.000 0 0 0 NA NA
45.   #> ghlambda 0.000 0 0 0 NA NA
46.   #> xi 0.000 0 0 0 NA NA
47.    
48.   #> $mu
49.   #> [1] 0.005
50.   #>
51.   #> $ar1
52.   #> [1] -0.9
53.   #>
54.   #> $omega
55.   #> [1] 0.001
56.   #>
57.   #> $alpha1
58.   #> [1] 0.3
59.   #>
60.   #> $beta1
61.   #> [1] 0.65
62.    
63.   true_params
64.   #> mu ar1 omega alpha1 beta1
65.   #> 0.005 -0.900 0.001 0.300 0.650

然后，我们可以生成收益率时间序列：

1.   # 模拟一条路径
2.    
3.   hpath(garch_spec, n.sim = T)
4.    
5.   #> num [1:2000, 1] 0.167 -0.217
6.    
7.   # 绘图对数收益
8.    
9.   { plot(synth_log_returns, main = "GARCH模型的对数收益", lwd = 1.5)
10.   lines(synth_volatility

GARCH

现在，我们可以估计参数：

1.   # 指定一个GARCH模型
2.   ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0)
3.    
4.   # 估计模型
5.    
6.   coef(garch_fit)
7.   #> mu ar1 omega alpha1 beta1
8.   #> 0.0036510100 -0.8902333595 0.0008811434 0.2810460728 0.6717486402
9.    
10.    
11.   #> mu ar1 omega alpha1 beta1
12.   #> 0.005 -0.900 0.001 0.300 0.650
13.    
14.   # 系数误差
15.    
16.   #> mu ar1 omega alpha1 beta1
17.   #> 0.0013489900 0.0097666405 0.0001188566 0.0189539272 0.0217486402

我们还可以研究样本数量T对参数估计误差的影响：

1.   # 循环
2.    
3.   for (T_ in T_sweep) {
4.   garch_fit
5.   error_coeffs_vs_T <- rbind(error_coeffs_vs_T, abs((coef(garch_fit) - true_params)/true_params))
6.   estim_coeffs_vs_T <- rbind(estim_coeffs_vs_T, coef(garch_fit))
7.    
8.    
9.   # 绘图
10.   matplot(T_sweep, 100*error_coeffs_vs_T,
11.   main = "估计GARCH系数的相对误差", xlab = "T", ylab = "误差 (%)",
12.    

真实的ω几乎为零，因此误差非常不稳定。至于其他系数，就像在ARMA情况下一样，μ的估计确实很差（相对误差超过50％），而其他系数似乎在T = 800个样本后得到了很好的估计。

GARCH结果比较 

作为健全性检查，我们现在将比较两个软件包 fGarch 和 rugarch的结果：

1.    
2.   # 指定具有特定参数值的ARMA（0,0）-GARCH（1,1）作为数据生成过程
3.   garch_spec
4.    
5.   #生成长度为1000的数据
6.    
7.   path(garch_fixed_spec, n.sim = 1000)@path$
8.    
9.   # 使用“ rugarch”包指定和拟合模型
10.    
11.   rugarch_fit <- ugarchfit(spec = garch_spec, data = x)
12.    
13.   # 使用包“ fGarch”拟合模型
14.   garchFit(formula = ~ garch(1, 1), data = x, trace = FALSE)
15.    
16.   # 比较模型系数
17.   #> mu omega alpha1 beta1
18.   #> 0.09749904 0.01395109 0.13510445 0.73938595
19.   #> mu omega alpha1 beta1
20.   #> 0.09750394 0.01392648 0.13527024 0.73971658
21.    
22.   # 比较拟合的标准偏差
23.   print(head(fGarch_fi
24.   #> [1] 0.3513549 0.3254788 0.3037747 0.2869034 0.2735266 0.2708994
25.   print(head(rugar
26.   #> [1] 0.3538569 0.3275037 0.3053974 0.2881853 0.2745264 0.2716555

确实，这两个软件包给出了相同的结果。

使用rugarch包进行GARCH预测 

一旦估计出GARCH模型的参数，就可以使用该模型预测未来的值。例如，基于过去的信息对条件方差的单步预测为

给定ω^ /（1-∑mi =1α^ i-∑sj =1β^ j）。软件包 rugarch 使对样本外数据的预测变得简单：

1.   # 估计模型，不包括样本外
2.    
3.    
4.   garch_fit
5.   coef(garch_fit)
6.   #> mu ar1 omega alpha1 beta1
7.   #> 0.0034964331 -0.8996287630 0.0006531088 0.3058756796 0.6815452241
8.    
9.   # 预测整个样本的对数收益
10.    
11.   garch_fore@forecast$sigmaFor[1, ]
12.    
13.   # 对数收益图
14.   plot(cbind("fitted" = fitted(garch_fit),
15.   main = "合成对数收益预测", legend.loc = "topleft")

1.   #波动率对数收益图
2.   plot(cbind("fitted volatility" = sigma(garch_fit),
3.   main = "预测合成对数收益率的波动性", legend.loc = "topleft")

不同方法

让我们首先加载S＆P500：

1.    
2.    
3.   # 加载标准普尔500指数数据
4.    
5.   head(SP500_index_prices)
6.   #> SP500
7.   #> 2008-01-02 1447.16
8.   #> 2008-01-03 1447.16
9.   #> 2008-01-04 1411.63
10.   #> 2008-01-07 1416.18
11.   #> 2008-01-08 1390.19
12.   #> 2008-01-09 1409.13
13.    
14.   # 准备训练和测试数据
15.    
16.   x_trn <- x[1:T_trn]
17.   x_tst <- x[-c(1:T_trn)]
18.    
19.   # 绘图
20.   { plot(x, main = "收益"
21.   addEventLines(xts("训练", in

常数

让我们从常数开始：

1.   plot(cbind(sqrt(var_constant), x_trn)
2.   main = "常数")

移动平均值

现在，让我们使用平方收益的移动平均值：

1.    
2.   plot(cbind(sqrt(var_t), x_trn),
3.   main = "基于简单滚动平方均值的包络线(时间段=20)
4.    
5.    

EWMA

指数加权移动平均线（EWMA）：

请注意，这也可以建模为ETS（A，N，N）状态空间模型：

1.    
2.   plot(cbind(std_t, x_trn),
3.   main = "基于平方EWMA的包络")
4.    

乘法ETS

我们还可以尝试ETS模型的不同变体。例如，具有状态空间模型的乘性噪声版本ETS（M，N，N）：

1.    
2.   plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black")
3.   main = "基于平方的ETS（M，N，N）的包络"
4.    

ARCH

现在，我们可以使用更复杂的ARCH建模：

1.    
2.   plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black")
3.   main = "基于ARCH(5)的包络")
4.    

GARCH

我们可以将模型提升到GARCH：

1.    
2.   plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black")
3.   main = "基于GARCH（1,1）的包络")
4.    

SV随机波动率

最后，我们可以使用随机波动率建模：

或者，等效地，

1.    
2.   plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black"),
3.   main = "基于随机波动率的包络分析")
4.    

比较

现在，我们可以比较每种方法在样本外期间的方差估计中的误差：

1.    
2.   #> MA EWMA ETS(M,N,N) ARCH(5) GARCH(1,1) SV
3.   #> 2.204965e-05 7.226188e-06 3.284057e-06 7.879039e-05 6.496545e-06 6.705059e-06
4.   barplot(error_all, main = "样本外方差估计中的误差"

滚动窗口比较

六种方法的滚动窗口比较：MA，EWMA，ETS（MNN），ARCH（5），GARCH（1,1）和SV。

1.    
2.   #滚动窗口
3.   lookback <- 200
4.   len_tst <- 40
5.   for (i in seq(lookback, T-len_tst, by = len_tst)) {
6.    
7.   # MA
8.   var_t <- roll_meanr(x_trn^2, n = 20, fill = NA)
9.   var_fore <- var(x_trn/sqrt(var_t), na.rm = TRUE) * tail(var_t, 1)
10.   error_ma <- c(error_ma, abs(var_fore - var_tst))
11.    
12.   # EWMA
13.    
14.   error_ewma <- c(error_ewma, abs(var_fore - var_tst))
15.    
16.   # ETS(M,N,N)
17.    
18.   error_ets_mnn <- c(error_ets_mnn, abs(var_fore - var_tst))
19.    
20.   # ARCH
21.    
22.   error_arch <- c(error_arch, abs(var_fore - var_tst))
23.    
24.   # GARCH
25.    
26.   error_garch <- c(error_garch, abs(var_fore - var_tst))
27.    
28.   # SV
29.    
30.   error_sv <- c(error_sv, abs(var_fore - var_tst))
31.   }
32.    
33.    
34.   barplot(error_all, main = "方差估计误差",

多元GARCH模型

出于说明目的，我们将仅考虑恒定条件相关（CCC）和动态条件相关（DCC）模型，因为它们是最受欢迎的模型。对数收益率残差wt建模为

其中zt是具有零均值和恒定协方差矩阵II的iid白噪声序列。条件协方差矩阵Σt建模为

其中Dt = Diag（σ1，t，...，σN，t）是标准化噪声向量C，协方差矩阵ηt=C-1wt（即，它包含等于1的对角线元素）。

基本上，使用此模型，对角矩阵Dt包含一组单变量GARCH模型，然后矩阵C包含序列之间的一些相关性。该模型的主要缺点是矩阵C是恒定的。为了克服这个问题，DCC被提议为

其中Ct包含等于1的对角元素。要强制等于1的对角元素，Engle将其建模为

Qt具有任意对角线元素并遵循模型

我们将生成数据，估计参数和预测。

从加载多元ETF数据开始：

• SPDR S＆P 500 ETF
• 20年以上国债ETF
• IEF：7-10年期国债ETF

1.    
2.   # 下载数据
3.   prices <- xts()
4.    
5.   head(prices)
6.   #> SPY TLT IEF
7.   #> 2013-01-02 127.8779 99.85183 93.65224
8.   #> 2013-01-03 127.5890 98.49886 93.17085
9.   #> 2013-01-04 128.1493 98.88306 93.21463
10.   #> 2013-01-07 127.7991 98.92480 93.26714
11.   #> 2013-01-08 127.4314 99.57622 93.49468
12.   #> 2013-01-09 127.7553 99.48438 93.54719
13.    
14.   # 绘制三个对数价格序列
15.   plot(log(prices)
16.   main = "三个ETF的对数价格", legend.loc = "topleft")

首先，我们定义模型：

1.    
2.    
3.   # 指定i.i.d.单变量时间序列模型
4.   ugarch_spec
5.   # 指定DCC模型
6.   spec( multispec(replicate(spec, n = 3))
7.    

接下来，我们拟合模型：

1.   # 估计模型
2.    
3.   #>
4.   #> *---------------------------------*
5.   #> * DCC GARCH Fit *
6.   #> *---------------------------------*
7.   #>
8.   #> Distribution : mvnorm
9.   #> Model : DCC(1,1)
10.   #> No. Parameters : 44
11.   #> [VAR GARCH DCC UncQ] : [30+9+2+3]
12.   #> No. Series : 3
13.   #> No. Obs. : 1007
14.   #> Log-Likelihood : 12198.4
15.   #> Av.Log-Likelihood : 12.11
16.   #>
17.   #> Optimal Parameters
18.   #> -----------------------------------
19.   #> Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
20.   #> [SPY].omega 0.000004 0.000000 11.71585 0.000000
21.   #> [SPY].alpha1 0.050124 0.005307 9.44472 0.000000
22.   #> [SPY].beta1 0.870051 0.011160 77.96041 0.000000
23.   #> [TLT].omega 0.000001 0.000001 0.93156 0.351563
24.   #> [TLT].alpha1 0.019716 0.010126 1.94707 0.051527
25.   #> [TLT].beta1 0.963760 0.006434 149.79210 0.000000
26.   #> [IEF].omega 0.000000 0.000001 0.46913 0.638979
27.   #> [IEF].alpha1 0.031741 0.023152 1.37097 0.170385
28.   #> [IEF].beta1 0.937777 0.016498 56.84336 0.000000
29.   #> [Joint]dcca1 0.033573 0.014918 2.25044 0.024421
30.   #> [Joint]dccb1 0.859787 0.079589 10.80278 0.000000
31.   #>
32.   #> Information Criteria
33.   #> ---------------------
34.   #>
35.   #> Akaike -24.140
36.   #> Bayes -23.925
37.   #> Shibata -24.143
38.   #> Hannan-Quinn -24.058
39.   #>
40.   #>
41.   #> Elapsed time : 0.8804049

我们可以绘制时变相关性：

1.   # 提取时变协方差和相关矩阵
2.   dim(dcc_cor)
3.   #> [1] 3 3 1007
4.    
5.   #绘图
6.    
7.   plot(corr_t
8.   main = "时变相关", legend.loc = "left")

我们看到两个收益ETF之间的相关性非常高且相当稳定。与SPY的相关性较小，在小于0的区间波动。

 

---

最受欢迎的见解

1.HAR-RV-J与递归神经网络（RNN）混合模型预测和交易大型股票指数的高频波动率

2.R语言中基于混合数据抽样(MIDAS)回归的HAR-RV模型预测GDP增长

3.波动率的实现：ARCH模型与HAR-RV模型

4.R语言ARMA-EGARCH模型、集成预测算法对SPX实际波动率进行预测

5.GARCH（1,1），MA以及历史模拟法的VaR比较

6.R语言多元COPULA GARCH 模型时间序列预测

7.R语言基于ARMA-GARCH过程的VAR拟合和预测

8.matlab预测ARMA-GARCH 条件均值和方差模型

9.R语言对S＆P500股票指数进行ARIMA + GARCH交易策略

 

标签：ETS,05,NA,EWMA,SV,mu,GARCH,模型,ARMA
来源： https://www.cnblogs.com/tecdat/p/14397643.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。