标签：公理 算术 皮亚诺 自然数 ------- 戴德金 镜像 数是
标题戴德金：数是人类心灵的自由创造；皮亚诺：他的公理和属于关系-------读皮亚诺之三
几乎是在同一个时段，但在不同国度，一个德国，一个意大利，对同样的算术所作的研究，产生了两种语言下的算术著作。一个用德语，一个用意大利语，分别回应了算术的基础之问：自然数这东西究竟是如何产生的？
先是德国人戴德金用德语写了《数的意义与性质》。很快就有接力，意大利人皮亚诺用意大利语写成了他的《运用新方法表述的算术原理》。这两部算术著作都成为当下的经典著作，后来都被翻译成多种语言，自然都会有英译本。
科学就是这样，不同语言研究的同样对象，可以得到大体类似的结果，它们所揭示的算术理论，实质其实是一样的，只是风格很不相同而已。既然还有文本可看，那就从文本的比较阅读中，不断体味读书求知之乐吧。
戴德金
标题一、戴德金的算术：数是人类心灵的自由创造
标题（一）最基本的概念：东西 系统、元素、包含于和镜像
德国的戴德金，有德国人的哲思之风。
他的算术理论，是从东西（thing）这个基点开始的。由东西thing到系统，由系统想到系统的构成部分（part）。用“东西”来刻画系统好像不太贴切，在论及系统的基底时，类似于单个“东西”的“元素”element就出现了。
有了这几个基本的观念，我们的实在世界，如果抽象掉客体的所有性质，似乎也就是这样几个几乎没有任何性质的对象，所以，引入没有任何字面意义的符号就自然了。
于是，最基本的元素就用小写字母a,b,c…来表示；
于是，元素集成为系统，就用大写字母S,T,N,…来表示；
比元素大的部分part，因为是包含于系统之中的，设系统为S，其部分A的含义就是A的元素全在S之中。部分与全体之间的关系，也就作为最基本的关系在文本中首次出现，这个关系可以用符号表示为AS。
由此，我们有了进一步的概念，进一步的概念之间关系。这将在有关戴德金算术基础的描述中，因需要而引入。不然，我们就会是一个没完没了的无限过程，一个永无止境的文字接力。但这样的接力只能是我们想象中的魔幻无限，大概也不存在这样的无限生活世界。
戴德金的自然数描述，做了五个章节的铺垫，在给出有限与无限的概念之后，从那篇经典随笔的第六节开始呈现。
戴德金首先给出的却不是自然数，他首先给出的，称之为简单的无限系统N。什么是简单的无限系统N呢？特别关注一下他的变换transformation概念是值得的，最早把戴德金随笔翻译为中文的朱言钧教授，将这个变换译为摄影，这个翻译十分传神。我仿其风格，使用更现代一点的“镜像”，来表示这个“变换或摄影”。在定义25中，戴德金给这个“镜像”概念做了如是陈述：
一个系统S的镜像Φ，我们可以理解为是一个法则，依据这个法则，系统S中的每一个指定了的元素s都属于一个被确定的东西，它称作s的镜像，用Φ（s)表示。这也可以说成是Φ（s)对应于s，Φ（s)通过镜像Φ从s中产生出来，还可以说，元素s通过镜像Φ变成了Φ（s)，Φ（s)就是s的镜像。
（戴德金《数论随笔》第52页）
镜像一词，的确非常传神的表达了这个符号Φ的含义，由一元素变化为另一元素，这变换后形成的元素，总是或多或少地留下了原初元素的某种痕迹，但又不完全是原先的那个元素。
由镜像进而衍生类似镜像（similar），
由元素进而衍生基元素1（base-element），
由包含于关系（）继而衍生链chain。
包含于关系表示为：
标题（二）自然数系列产生的条件
在这几个概念的基础之上，简单无限系列N依赖一些条件生成了。说系列N是一个简单无限系列，需满足以下四个条件：
第一个条件：N’包含于N
这是依据前述包含于的含义，而N’则依据前述镜像的定义，可知N’=Φ(N)，可知N’为N之镜像。也就是N的镜像N’需包含在N之中，N’是N的部分。
第二个条件：N=10
这里的10是根据定义44而给出的符号，它表示的是：若A是一个系统S的部分，则A0是系统S所有链的共同体（community），由此，这个10就是所有链的共同体，而这个共同体就是无限系统N。
第三个条件：元素1不包含在N’中
这时候的1只是作为一个符号元素，数字概念没有出来。1作为一个系统的基底元素，仅仅只是一个纯粹的元素而已。
第四个条件：镜像Φ是类似的
一个镜像Φ为类似的，这是依据前述戴德金为类似similar镜像所做出的定义，即定义26，不同的元素总是对应不同的镜像，这种镜像，就被称作是类似的。
这几个条件，恰如戴德金给出的无限系统定义（见定义64），这就决定了N是一个无限系统。这个无限系统N依然只是自然数的铺垫，在这样的铺垫之后，自然数系列N就隆重推出了。
何谓自然数？如果我们思考一个简单无限系统N，把这个N按照某个秩序order，使用镜像而形成一个集合时，则这个集合中的元素从单位1开始，借助镜像造出了第一张照片，再按照第一张照出第二张，第二张照出第三张，这个镜像过程显然可以推至无限。其中的每一张，都将留下原初那个单位的影像。我们把这个拍照的过程无穷递进，然后给这个递进过程的每一步一个顺序，不就是一个无限的自然数系列么？
这个系列的简单性，和无限性一样，也容易理解。我们完全忽略掉构成这个集合的诸元素的性质，仅仅只是为了使其各有区别。而且，这些元素间的关系也仅仅就是镜像行为所规定的那些东西，别无其它。这不就让这个系列简单纯粹到极致么？
这样，我们所提到的系统N，它就是一个自然数系列，可以称作序数，或者就简称为数。那个作为基底的基元素1，由此也就成为自然数系列中的基数。
标题（三）自然数是人类心灵的一个自由创造
戴德金在描述了一系列相关于自然数的概念和条件之后，随之对自然数的产生做了有点感慨的评论，他说：
相关于这个免除掉来自其它内容的这个基元素1，我们有理由说，数是人类心灵的一个自由创造。完全从那些在定义（71）的四个条件中推出的那些关系和法则，它们在一切有序简单无限系统之中总是同样的，无论我们给那些个体元素以什么名称（比较134），这些法则和关系形成了数科学或者称算术的第一个对象。
（戴德金《数论随笔》第68页）
自然数就这么形成了，根据上述那些一般概念和条件，有关一个系统的镜像本身，我们立刻又获得以下有关数的法则表述：
符号a,b,…m,n,…总是指称N的元素，大写字母A,B,C,…是N的部分。而a’,b’,…m’,n’…A,B,C,…则是相应的镜像，这些镜像是通过有序设置的镜像Φ而产生的，它们总是或为元素或为部分。一个由数字n通过镜像Φ生成的n’，也可以称作是跟随n的一个数。
这就构成了戴德金的基本算术框架，我们有了自然数的系列N。其后，随之就讨论大于、小于，讨论数的运算：加减乘除等，这些内容且留待下篇再议。反正这人对知识的探究，总是一个不断跟随的过程，这大概也可以排列成一个序数系列。
标题二、皮亚诺的算术
标题（一）基本符号：七个符号，包括在逻辑符号中使用的属于符号∈，包含于符号，还有否定符号~
皮亚诺的算术，如他自己所言，本质性的观念来自戴德金。你看他的框架就有所理解。戴德金的文字描述中颇有哲学玄思的味道，皮亚诺则简洁明快，似乎有数学无须赘言的趣旨。只要勾勒出皮亚诺的算术架构，其文字风格一看便可感知。
他的算术描述结构，在给出基本逻辑框架之后，全书的第四部分开始讨论算术原理。原理首节，皮亚诺给出数和加法的描述，自然数公理就在这一节之中。皮亚诺整个算术理论，有基本符号，公理，定义和定理证明四个部分。我们对等地给出描述，有关算术运算的加减乘除留待后文，由此，下文也就仅限于讨论皮亚诺的公理。
与戴德金一样，同样是符号N，表示自然数（也就是正整数）。
符号1的表述略有不同，皮亚诺的符号1表示单位（unity）。
而a+1表示a的后继（successor）。
等号=的含义与逻辑上的等号不同，是具有算术等号意义的符号，也与戴德金所用的符号一致。但有的等号在皮亚诺那里好像未作区分，在陈述皮亚诺公理的时候可见。
上述七个符号分别是：
1、属于符号∈，
2、包含于符号，
3、否定符号~。
4、自然数（正整数）符号N，
5、符号1，
6、后继符号a+1，
7、等号符号=。
用照片来给出7个符号吧
在符号运用方面，皮亚诺应该是数学史上首次使用属于符号的学者，从而分清楚了在戴德金文中没有做出区分的两类关系：包含于关系和属于关系。皮亚诺的这个区分当然意义重大，个体和全体的关系，这是一种关系，而子类和全类之间却又是一种关系。混淆两类关系的后果是产生悖论，这不在本文的关注之中，暂且跳过。
从皮亚诺使用的符号可以看出，他已经有了自然数符号N，把N看作是自然数，但对于这个N，并没有给予相应的定义，我们还是不知道这个作为自然数的N究竟是什么。皮亚诺的数字符号1，也只是表示单位unity的，我们也不知道它是否属于自然数。那么，自然数N如何产生？这就把我们引向皮亚诺算术的公理之中。
皮亚诺的算术，其自然数N是用公理形式表述的。
注意皮亚诺的a，b，c等小写符号，在它的算术中，这些小写符号表示的是世界的任意实体entity。皮亚诺著作中的实体概念，大约对应于戴德金的东西thing概念。放在算术的范围内，自然代表的是任意自然数。
也请注意皮亚诺算术中的大写字母符号K,T,M,N等，它们表达的是一个类class，在戴德金那里则表达的是系统system或者part。皮亚诺的类大体上对等于戴德金的系统和部分。
标题（二）公理：皮亚诺算术的九个公理
因为包含于符号无法显示，用中文包含于替代。
1、1∈N
2、(a∈N)包含于(a=a)
3、(a,b∈N)包含于((a=b)=(b=a))
4、((a,b,c∈N))包含于(((a=b)=(b=c))包含于(a=c)))
5、(a=b，b∈N)包含于(a∈N)
6、(a∈N)包含于((a+1)∈N))
7、(a,b∈N)包含于((a=b)=(a+1=b+1))
8、(a∈N)包含于((a+1~)=1））
9、(k∈K),(1∈k),(x∈k),包含于x(x∈k)x ((x+1)∈k)))包含于(N包含于k)
皮亚诺的这九个公理，其中的2，3，4，5公理可以略去，而不影响皮亚诺的算术。由此，人们常把剩下的1，6，7，8，9五个公理称作皮亚诺公理。这五个公理可以分别做以下常识性描述：
公理1：1∈N
它表示单位1，是一个自然数。
这就规定了自然数系列中的第一个数字，它表明的是，我们所知的全部自然数用N来表示，但第一个自然数是1。这个公理表达的意义好像非常明显，是不用证明，就该完全接受的自明命题。就像古希腊《几何原本》中为几何基础给出的第一个公理：“等于同量的量彼此相等”一样，无容置疑。
公理2：(a∈N)包含于((a+1)∈N))
它表示，任何一个数a的后继（a+1），也属于数，或者也是一个数。
这告诉我们，因为有了1这个数，又有了后继这个概念，就把后继的那个元素也置于自然数的范围之内。有了这个公理2，数字的规模开始增长起来。
公理3：(a,b∈N)包含于((a=b)=(a+1=b+1))
它表示，如果两个实体属于自然数，那么这两个实体之间的相等，当且仅当它们的后继之间也相等。
这个公理的意义也很明显，如果有两个数都是自然数，而且它们还相等，那么它们的后继也相等。这反过来看也成立，如果有两个数都是自然数，而且它们的后继也相等，那么这两个数也相等。皮亚诺这里也是使用等号说明这个公理，但该公理后件中的主等号并不是算术意义的等号，而是逻辑意义的等价。
公理4：(a∈N)包含于((a+1~)=1））
这个公理表示，单位1不是任何数的后继，它是自然数的起点。但后来的逻辑学家和数学家，也有把数字0看作起点的，例如弗雷格就以0作为自然数的起点。这似乎是个个人偏好的问题，对于公理化算术本身没有什么影响。
公理5：(k∈K),(1∈k),(x∈k)包含于 ((x+1)∈k)))包含于(N包含于k)
这就是算术中的完全归纳法，或称数学归纳法。它的意思是，设k是大类K中的一个任意类，如果1属于k，并且任意数x属于k，那么就有x+1属于k，由此而所有自然数N都属于k。这个数归法公理是从类逻辑的角度来给以定义，如果用谓词逻辑的方式，用客体性质的观念来描述数归法，借用罗素的描述就是：
如果数字1有性质p，并且任意数字x有性质p，那么x的后继x+1也有性质p，由此所有的自然数都有性质p（参见罗素《数理哲学导论》第11页）。
标题（三）皮亚诺、戴德金算术架构的比较
仅就自然数的生成来比较这两位算术基础研究的开拓者，你会看到两者有非常接近的地方。皮亚诺的5个公理与戴德金自然数系列的四个条件，似乎天然地有一种呼应。
皮亚诺公理1：1∈N，和戴德金第二个条件：N=10，有一种呼应。戴德金的10，作为所有链的共同体，自然要包括1这个基元素在自然数系列之内。
皮亚诺的公理2：(a∈N)包含于((a+1)∈N))，这有戴德金条件1的味道。即N’作为N的镜像，有N’为N的后继之意味。由于戴德金还没有属于关系和包含于关系的区分，他的那些条件也就只能处在包含于的关系之下，而不在属于关系之下。这个公理2也有条件2的味道，任意元素加上基元素1，由此而有无数的以1为基数形成的东西，这不就是条件2中的那个10么？一个有趣的应和。
皮亚诺的公理3：(a,b∈N)包含于((a=b)=(a+1=b+1))，很明显地具有戴德金第三个条件：元素1不包含在N’中的意思。若1包含在皮亚诺的后继之中，则公理3就难以成立。
皮亚诺公理4：(a∈N)包含于((a+1~)=1）），1不是任何数的后继，这既有条件三的意味，更有条件四的意味。戴德金条件四中的类似镜像，需满足不同的元素产生不同的镜像，因此而不允许1本身是后继。
最后，皮亚诺公理5：(k∈K),(1∈k),(x∈N),(x∈k)x ((x+1)∈k)))(Nk)，这就是著名的数学归纳法公理，这可以看作是戴德金第二个条件：N=10，的延续。
这里的10是根据戴德金定义44而给出的符号，由此而导出戴德金定理59完全归纳定理，继而导出自然数的完全归纳法定理80。这两个定理，在皮亚诺的算术中成为该算术理论的公理5。
戴德金建构算术自然数系列的四个条件，已经具有自然数公理的意味。但由于属于关系在戴德金那里还没有出现，公理化的描述也许不是很方便。皮亚诺则最先使用了这个由他发现的属于关系，把它用于算术理论之中，这就为算术构造了著名的皮亚诺公理。于是，公理化的算术理论产生了。算术基础研究中这种殊途同归，心灵构想和概念发现，是科学展现给人类的魅力。
鼠年的即将消失，意味着牛年的款款而来。让我们继续前行，鼠牛之交，还有诸多好戏可看，皮亚诺等学者的算术基础研究，如何来处理算术中的加减乘除运算，就是值得看看的新年好戏。
标签：公理,算术,皮亚诺,自然数,-------,戴德金,镜像,数是 来源： https://blog.csdn.net/weixin_41670255/article/details/113465257
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