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2020ICPC济南A Matrix Equation

∑ k = 1 n A i , k C k , j = B i , j C i , j → ⨁ k = 1 n A i , k C k , j = B i , j C i , j → B i , j C i , j ⊕ ( ⨁ k = 1 n A i , k C k , j ) = 0 → A i , 1 C 1 , j ⊕ A i , 2 C 2 , j ⊕ . . . ⊕ ( A i , i ⊕ B i , j ) C i , j ⊕ . . . ⊕ A i , n C n , j \sum_{k=1}^nA_{i,k}C_{k,j}=B_{i,j}C_{i,j}\rightarrow \bigoplus_{k=1}^nA_{i,k}C_{k,j}=B_{i,j}C_{i,j}\\ \rightarrow B_{i,j}C_{i,j}\oplus(\bigoplus_{k=1}^nA_{i,k}C_{k,j})=0\\ \rightarrow A_{i,1}C_{1,j}\oplus A_{i,2}C_{2,j}\oplus...\oplus(A_{i,i}\oplus B_{i,j})C_{i,j}\oplus...\oplus A_{i,n}C_{n,j} k=1∑n​Ai,k​Ck,j​=Bi,j​Ci,j​→k=1⨁n​Ai,k​Ck,j​=Bi,j​Ci,j​→Bi,j​Ci,j​⊕(k=1⨁n​Ai,k​Ck,j​)=0→Ai,1​C1,j​⊕Ai,2​C2,j​⊕...⊕(Ai,i​⊕Bi,j​)Ci,j​⊕...⊕Ai,n​Cn,j​

由此得到一个异或线性方程，对于一个固定的列 j j j，取 i = 1 , 2 , . . . , n i={1,2,...,n} i=1,2,...,n则得到一个异或线性方程组 T j T_j Tj​，从而 C C C的第 j j j列可以取的向量个数为 2 n − r ( T j ) 2^{n-r(T_j)} 2n−r(Tj​)。答案为 ∏ j = 1 n 2 n − r ( T j ) \prod\limits_{j=1}^n2^{n-r(T_j)} j=1∏n​2n−r(Tj​)。
对于一个方程组，高斯消耗的复杂度为 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)，共有 n n n个方程组，总的时间复杂度为 O ( n 4 ) O(n^4) O(n4)，对于异或方程组，可以采用 b i t s e t bitset bitset优化，从而时间复杂度为 O ( n 4 / w ) O(n^4/w) O(n4/w)。

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来源： https://blog.csdn.net/Huah_2018/article/details/113267256

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