直方图均衡化
定义
当直方图中像素值集中在狭窄的灰度级范围内或分布极不均匀时，图像呈现较差的对比度。直方图均衡化的目的就是将直方图的灰度级概率分布变换为均匀分布。(如下图所。注意，p(x)是概率密度函数，P(x)是概率分布函数）
由于直方图中概率较小的灰度级合并为更少的几个或一个灰度级内，从而降低了图像的灰度级分辨率，且某些细节信息处于概率较小的灰度级中，这样的灰度级归并到其他灰度级内，从而造成图像细节信息的丢失。
公式
输入r，输出s
s = T ( r ) = ( L − 1 ) ∑ j = 0 k P ( r j ) = L − 1 M N ∑ j = 0 k n j , ( k = 0 , 1... L − 1 ) s=T(r)=(L-1)\sum_{j=0}^k{P(r_j)}=\frac{L-1}{MN}\sum_{j=0}^kn_j ,(k=0,1...L-1) s=T(r)=(L−1)j=0∑kP(rj)=MNL−1j=0∑knj,(k=0,1...L−1)
对于输入图像中每个具有r值的像素值产生一个输出灰度值s.
略微证明
先 定 义 两 个 函 数 s = T ( r ) , r = T − 1 ( s ) 。 两 个 互 为 反 函 数 先定义两个函数s=T(r),r=T^{-1}(s)。 两个互为反函数 先定义两个函数s=T(r),r=T−1(s)。两个互为反函数
接下来，F（x）是概率分布函数，P（x）概率分布。
F s ( s ) = P r ( S < s ) = P r ( T ( R ) < s ) = P r ( R < T − 1 ( s ) ) = P r ( R < r ) = F r ( r ) F_{s}(s)=P_{r}(S<s)=P_{r}(T(R)<s)=P_{r}(R<T^{-1}(s))=P_{r}(R<r)=F_{r}(r) Fs(s)=Pr(S<s)=Pr(T(R)<s)=Pr(R<T−1(s))=Pr(R<r)=Fr(r)
接下来对上式两边求导s（概率分布函数的导数是概率密度函数），可得如下
p s ( s ) = p r ( r ) d r d s p_{s}(s)=p_{r}(r)\frac{dr}{ds} ps(s)=pr(r)dsdr
当直方图均衡化的变换函数T( r )是连续型随机变量R的概率分布函数Fr( r),也就是输入灰度级r的累计直方图时，可表示为
s = F r ( r ) = ∫ 0 r p r ( x ) d x , s=F_{r}(r)=\int_{0}^{r}p_r(x)dx, s=Fr(r)=∫0rpr(x)dx,
对上面两边求导r，得到
d s d r = p r ( r ) \frac{ds}{dr}=p_{r}(r) drds=pr(r)
将这个式子带入当初求的哪个，得到
p s ( s ) = 1 p_{s}(s)=1 ps(s)=1
这说明什么？？
当直方图均衡化的变换函数T( r)是连续型随机变量R的概率分布函数Fr( r),也就是输入灰度级r的累计直方图时，变换后的概率密度函数是均匀分布的！！！
所以
s = T ( r ) = ( L − 1 ) ∑ j = 0 k P ( r j ) = L − 1 M N ∑ j = 0 k n j , ( k = 0 , 1... L − 1 ) s=T(r)=(L-1)\sum_{j=0}^k{P(r_j)}=\frac{L-1}{MN}\sum_{j=0}^kn_j ,(k=0,1...L-1) s=T(r)=(L−1)j=0∑kP(rj)=MNL−1j=0∑knj,(k=0,1...L−1)
- 计算 P ( r k ) = n k M N ( k = 0 , 1 ， 2 , 3... L − 1 ) P(r_k)=\frac{n_k}{MN}(k=0,1，2,3...L-1) P(rk)=MNnk(k=0,1，2,3...L−1)
其中nk是出现的次数。L是离散灰度级数 - 计算 s k = ( L − 1 ) ∑ j = 0 k P ( r j ) , ( K = 0 , 1 , . . . L − 1 ) 四 舍 五 入 为 整 数 s_k=(L-1)\sum_{j=0}^kP(r_j),(K=0,1,...L-1) 四舍五入为整数 sk=(L−1)j=0∑kP(rj),(K=0,1,...L−1)四舍五入为整数
- 确定 r k 与 s k 的 对 应 关 系 r_k与s_k的对应关系 rk与sk的对应关系
- 确定概率分布
MATLAB实现
i=imread('d:\\cat.jpg');
i=rgb2gray(i);//rgb转化为灰度图
j=histeq(i);//灰度直方图均衡化
figure('name','contrast');
subplot(1,2,1);imshow(i);title('raw pic');
subplot(1,2,2);imshow(j);title('process pic');
- 1
标签：...,函数,灰度级,概率分布,均衡化,直方图,灰度 来源： https://blog.csdn.net/m0_48342140/article/details/112331209
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。