可并堆——左偏树实现
可并堆
堆是优先队列的一种实现方式，堆中父节点大于等于（或小于等于）两子节点，每次的删除，查询，插入都是 \(O(log_2n)\) 的复杂度
- 我们考虑两个堆的合并问题，如果让小的堆合并到大的堆，一个一个插入，时间复杂度 \(O(nlog_2n)\) 效率往往不能满足要求。我们需要一个合并复杂度大致为 \(O(log_2(m + n))\) 的可并堆
左偏树
- 左偏树可以用来实现这样的可并堆，首先我们可以定义一个节点的dis值为这个节点的右节点的dis值+1，直观地来说，一个节点的dis值就是从这个节点开始一直往右儿子走，最多能走多远
- 然后对左偏树可以这样理解：
- 一棵左偏树首先是个堆
- 对左偏树上所有节点，都有
左儿子的dis值大于等于右儿子的dis值
- 定义结束，我们可能要问如何建一棵左偏树？这里我要说，左偏树和传统的堆不同，没有pushup操作，左偏树唯一的操作就是合并merge。 >也就是说，我们建立左偏树，是将每个节点都看成一棵左偏树，然后一步一步合并起来的，所以我们要先明确什么是合并操作。
合并操作
对左偏树最核心的合并操作，是这样的(假设数越小优先级越大)：
- 1.对以x，y为根节点的两棵左偏树合并，首先若x为空则合并结果为y，若y为空则合并结果为x（显然）。
- 2.若都不为空，则检查x，y节点的值，让值大的节点与值小的节点的右儿子合并，这一步是为了维持堆的性质，保证父亲小于子节点（以下假设x节点值更小）
- 3.合并之后，检查x的左右儿子节点的dis值，如果左儿子的dis小于右儿子的dis，则交换左右儿子节点，这一步是为了维持左偏性质。
- 4.将x节点的dis设为右儿子节点的dis+1
如此递归操作即可在 \(O(log_2(m + n))\) 内完成两个左偏树的合并
其他操作
其他操作建立在合并之上，下面是常见的几种。
-
插入节点
将待插入的节点作为一棵左偏树与树根合并即可
-
删除
对于堆来说，删除只能作用于根节点。所以把根节点与左右儿子断开，然后合并左右子树即可
-
建树
对一个序列建左偏树的较理想方式，是使用队列，每次出队两棵树（单节点也是左偏树），将两棵树合并然后放在队尾，直到队内只剩下一棵左偏树
其他事项
-
这里可能有疑问，左偏树深度怎么保证？
-
事实上由定义，左偏树是可以变成一条链的，这看上去对于堆的影响很小，但是这使得：
- 1.左偏树不能用二进制运算的数组实现
- 2.寻找一个节点在左偏树上的根，可能退化到 \(O(n)\) 复杂度(模板题中有涉及)
模板题 洛谷P3377
代码：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n, m;
struct ab
{
int v;
int dis;
int ls;
int rs;
int fa;
} aa[200005];
void sw(int& a, int& b)
{
int t = a;
a = b;
b = t;
}
bool bk[100005] = {0};
int merge(int x, int y)
{
if (!x)
{
return y;
}
if (!y)
{
return x;
}
if (aa[x].v > aa[y].v || (aa[x].v == aa[y].v && x > y))
{
sw(x, y);
}
aa[x].rs = merge(aa[x].rs, y);
aa[aa[x].rs].fa = x;
if (aa[x].ls)
{
aa[aa[x].ls].fa = x;
}
if (aa[aa[x].ls].dis < aa[aa[x].rs].dis)
{
sw(aa[x].ls, aa[x].rs);
}
if (!aa[x].rs)
{
aa[x].dis = 0;
}
else
{
aa[x].dis = aa[aa[x].rs].dis + 1;
}
return x;
}
int mn(int x)
{
if (aa[x].fa != x)
{
aa[x].fa = mn(aa[x].fa);
}
return aa[x].fa;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
scanf("%d", &aa[i].v);
aa[i].fa = i;
}
for (int i = 1; i <= m; ++i)
{
int sele;
scanf("%d", &sele);
if (sele == 1)
{
int xx, yy;
scanf("%d%d", &xx, &yy);
int mnx = mn(xx);
int mny = mn(yy);
if (bk[xx] || bk[yy] || mnx == mny)
{
continue;
}
merge(mn(xx), mn(yy));
}
else
{
int xx;
scanf("%d", &xx);
if (!bk[xx])
{
int id = mn(xx);
printf("%d\n", aa[id].v);
aa[aa[id].ls].fa = aa[id].ls;
aa[aa[id].rs].fa = aa[id].rs;
aa[id].v = 0;
aa[id].fa = merge(aa[id].ls, aa[id].rs);
bk[id] = true;
aa[id].ls = 0;
aa[id].rs = 0;
}
else
{
printf("-1\n");
}
}
}
return 0;
}
总之，没有完美的数据结构。但左偏树确实好写，不想用堆了（直接用平板电视更容易）
标签：aa,实现,合并,int,左偏,节点,dis 来源： https://www.cnblogs.com/int-me-X/p/13301063.html
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