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ACM总结——动态规划(4)问题的形式化描述

2020-06-04 15:37:14  阅读:410  来源: 互联网

标签:总结 arr 个数 形式化 ACM ans 序列 最长 描述


动态规划的核心在于分析最优子结构,其中包含如下内容:

如何描述问题,如何描述子问题,问题的解和子问题的解之间的关系,即递推式,问题的解空间结构,如何遍历这个解空间,等等。

 

问题的描述形式,取决于我们所求的答案的形式和结构.

个人理解主要分三种情形:

(1)完全按照题目所求来描述

(2)基于答案分解,附加特殊规则的精确化描述

(3)自带空间压缩的降维描述

对于问题本身的描述很复杂的题目,我们的描述越精确,我们的递推式也就越简洁。

 

例如:

(1)完全按照题目所求来描述

例1:力扣 OJ 1143. 最长公共子序列 https://blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/104091938

f(a,b)表示数组A的前a个数和数组B的前b个数的最长公共子序列

 

(2)基于答案分解,附加特殊规则的精确化描述

什么叫基于答案分解呢?

要求前n个数的最长上升子序列,我们可以把答案分解为n种情况:

以第i个数(i从1到n)为结尾的最长上升子序列

 

例2:力扣 OJ 300. 最长上升子序列 https://blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/104086350

给定一个无序的整数数组,找到其中最长上升子序列的长度。

f(i)表示以第i个数结尾的最长上升子序列的长度

f(i-1)表示以第i-1个数结尾的最长上升子序列的长度

所以f(i)=max{f(j) | j<i && num[j]<num[i]}

 

例3:CSU 1225: ACM小组的队列(最长上升子序列的个数)https://blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/79747086

这个题目需要把以第i个数结尾的最长上升子序列的长度和数目一起算出来。

 

PS:完全按照题目所求来描述,求得的值就是答案,

基于答案分解,附加特殊规则的精确化描述,求得值之后,还要在所有值里面取一个最优解

 

PS:基于答案分解是根据答案的最后一个值,分解成很多情况,得到的是分解问题,形式和原问题不同

而子问题是形式和原问题相同,但规模比原问题小,是原问题经过分治思想得到的。

 

 

(3)自带空间压缩的降维描述

首先,什么是空间压缩?

ACM总结——动态规划(3)空间压缩 https://blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/106507259

再看看什么叫自带空间压缩的降维描述:

例4:力扣OJ 1218. 最长定差子序列 https://blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/106418150

给定差值dif,求最长等差子序列

如果数组没有重复的数,那就简单,ans[arr[i]]=ans[arr[i]-dif]+1

如果有重复的数,那么相同的数如何选取?

自然是取第i个数之前,等于arr[i]-dif且ans值最大的那个,但是如果搜索的话就会超时,必须在O(1)的时间内找到这个数或者找到它的ans值。

所以我们除了需要知道ans[arr[i]]表示以第i个数结尾的最长等差子序列之外,还需要确定,ans[x]表示啥?

ans[x]=ans[arr[j]],其中j=max{j | arr[j]=x,j<i}

没错,这么一个精准的形式化描述,让我们意识到,ans[x]的含义中包含了i这个变量,也就是说ans数组的值的含义是随着时间一直在变化的,这其实是隐含了空间压缩。

标签:总结,arr,个数,形式化,ACM,ans,序列,最长,描述
来源: https://blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/106497777

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