标签：mathbb mathbf sqrt cdots Problem operatorname norm

题意简述：

给定复数\(z=\sum\limits_{i=1}^nz_i(z_i\in\mathbb Z[i])\)，求\(\mathbb K[\mathbb Z[i]]\)上的使得\(f(z)=0\)的多项式\(f(z)\)的最低次数，答案对\(998244353\)取模。

数据范围：

\(n\le100,|z_i|\le10^9\)

解法：

设\(p(x)\)为\(z\)在\(\mathbb Z\)上的极小多项式，那么\(\deg p=[\mathbb Z(a):\mathbb Z]\)。
若\(a_i\)两两互质，则显然有\([\mathbb Z(\sqrt a_1,\cdots,\sqrt a_n):\mathbb Z]=2^n\)。
不妨认为\(\mu(a_i)\ne0\)，对于每个\(a_i\)构造一个向量\(\mathbf b_i\)，满足\(\mathbf b_{i,j}=p_j|a_i\)。
设\(\mathbb F_2\)下\(\operatorname{span}(\mathbf b_1,\cdots,\mathbf b_n)=m\)，那么\([\mathbb Z(\sqrt a_1,\cdots,\sqrt a_n):\mathbb Z]=2^m\)。
记\(a=\sum\limits_{i=1}^na_i\)，又因为\(p(a)=p(\overline a)=0\)，所以我们有\([\mathbb Z(a):\mathbb Z]=[\mathbb Z(\sqrt a_1,\cdots,\sqrt a_n):\mathbb Z]=2^m\)。
我们知道\(\mathbb Z[i]\)上是有唯一分解定理的，因此可以套用\(\mathbb Z\)上的做法。
具体来说是因为\(i\)不与任何其它\(\mathbb Z[i]\)上的素数线性相关，因此我们可以将\(i\)视为素数。
考虑\(z=x+yi\in\mathbb Z[i]\)的素性：
\(1.\)若\(xy=0\)，则\(z\in\mathbb P[i]\Leftrightarrow\operatorname{norm}(z)|\in\mathbb P\wedge\operatorname{norm}(z)\not\equiv1\pmod4\)。
\(2.\)若\(xy\ne0\)，则\(z\in\mathbb P[i]\Leftrightarrow\operatorname{norm}(z)\mathbb P\)。
那么我们可以直接对\(\operatorname{norm}(z)\)分解质因数，对于\(p|\operatorname{norm}(z)\):
\(1.\)若\(p=2\)，则\(1+i|z\)。
\(2.\)若\(p\equiv3\pmod4\)，则\(p|z\)。
\(3.\)若\(p\equiv1\pmod4\)，找到\(q\)使得\(q^2\equiv-1\pmod p\)，则\(p|\operatorname{norm}(x+i)\wedge p|\operatorname{norm}(p)\)，因此\(\gcd(x+i,p)|z\)。
求\(\gcd\)可以用辗转相除法，我们知道\(p\bmod q=p-\lfloor\frac pq\rfloor q\)，\(\lfloor z\rfloor\)根据\(\Re(z),\Im(z)\)分别上/下取整有\(4\)种可能的结果，选择模长最小的即可，不难证明复杂度为\(O(\log |z|)\)。
总的时间复杂度为\(O(\frac{n^3\log|z|}{\omega}+n\sqrt{|z|})\)。

标签：mathbb,mathbf,sqrt,cdots,Problem,operatorname,norm
来源： https://www.cnblogs.com/cjoierShiina-Mashiro/p/12958250.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。