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避圈法
一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边，在一个连通图中的所有生成树中，存在如此各边代价之和最小的生成树，则称该生成树为该联通网的最小代价生成树。
我们熟知的 Prim 算法和 Kruskal 算法可以用来找到最小生成树，不过这两种算法的思想其实是一致的：一开始我只有有限的信息，无论是所有顶点做加边法，还是所有的边做加点法，一开始的信息都是不完整的。其实无论是加点还是加边，本质上是从最小的权的边开始，添加的是在未选中的边中的最小权值边，原理都是使用了 MST 性质去做的。
在做 Prim 算法和 Kruskal 算法时我们比较关心每添加了一次边就检查看看有没有出线回路，因为生成树是不能有回路。那也就是说我要避免回路的出现，在重复添加最小权值边时就能保证将最小生成树添加出来，这种手法就被称为避圈法。
破圈法
现在我们来考虑另一种思路，避圈法是把最小生成树建出来，现在我有全套的信息，我要怎么把最小生成树找出来？由于最小生成树是 n 个顶点 n - 1 条边，因此我需要将边的数量减少到 n - 1 条，一旦我满足了这点就可以认为是找到了最小生成树。
所以现在的问题是怎么找需要删除的边？回顾一下什么叫生成树，生成树是没有回路的，那也就是说我只需要把边给删除掉，使得该结构不存在回路即可。当然你可能要问了直接随意删除不就好了吗？这样剩余 n - 1 条边绝对是不存在回路的。但是这么做可能会导致本来我的生成树是可以保证连通的，但是就被拆成了多个部分，这个不是我们愿意发生的事情。所以删除边的时候都需要验证这条边的有或无是否导致回路的存在。
还有一个问题是，如果我漫无目的地删除边，那么这样得到的生成树未必不是最小生成树。这个问题解决还是比较容易的，我直接去找现有的权值最大边即可，然后判断回路存在后直接把最长边。这样每次操作的都是最长边，剩余的边就会是短边，对应的生成树就是最小生成树。
模拟生成
我们还是拿这个图结构来看，首先对于破圈法来说，我拥有全套信息。
接下来我去找权值最大的边，应该是 3-5，判断一下有这条边将存在回路，删除。
继续寻找权值最大的边，应该是 1-4，判断一下有这条边将存在回路，删除。
继续寻找权值最大的边，应该是 2-5，判断一下有这条边对生成树存在回路是没有影响的。因为现在回路存在于 0,1,2 这 3 个点(用橙色标出) 2-5 的存在与否并不影响，因此保留。
继续寻找权值最大的边，应该是 0-2，判断一下有这条边将存在回路，删除。
此时边的数量已经缩小至 n - 1,说明构造完毕。
判断回路是否存在
先说说“图论”的事
先左转看一下什么是"欧拉回路"，请看博客欧拉回路的存在性。
华沙尔算法
看上去算法好像很简单，但是实际写代码我们就马上回遇到回路的存在性问题。因为这个问题不是验证图是否连通，而是删除边之后是否还联通，所以很明显是在并查集服务区之外。所以现在我们就遇到知识盲区了，下面我就介绍一种从期刊论文学到的算法：华沙尔算法。所谓华沙尔算法，这主要用来对付用邻接矩阵存储的图结构的连通性判断。算法的流程是：
- 获取图的邻接矩阵 g，若图为有向图需要先忽略方向变为无向图；
- 遍历邻接矩阵 g，若矩阵的边 g[i][j] != 0，则对于 k(0 ≤ k ≤ g.n) 来说 g[i][k] = g[i][k] + g[j][k]，则用这个信息去修正邻接矩阵的值，得到邻接矩阵的可达矩阵。可达矩阵只关心路径是否存在，不关心权值，因此可以用 bool 型变量去描述，或者用 0 和 1 就好；
- 统计可达矩阵中的路径数 sum，若 sum != g.n2 则表示图不连通。
- 若 sum == g.n2，则还需要进一步分析时弱连通还是强连通，这里不多叙述，详情可以阅读参考的期刊论文。
伪代码
代码实现
标签：连通,破圈法,回路,最小,生成,算法,权值 来源： https://www.cnblogs.com/linfangnan/p/12827529.html
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