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【知识总结】Splay 简单区间操作的一些套路

2020-04-10 13:00:55  阅读：312  来源： 互联网

标签：rt 总结 ch val 套路 pos tot Splay int


Introduction

Splay 在维护数集方面效率并不算突出，但可以高效维护数列并进行数列的一些操作，甚至是线段树所做不了的（比如区间翻转）。

所以掌握 Splay 还是很重要的，而且理解了就不难了。

Range Selection

Splay 的最经典的应用莫过于 区间翻转 了。

「Luogu P3391」【模板】文艺平衡树

很显然，数列原顺序是给定的，说明我们的 Splay 应该是 \(L \text{的编号} <X \text{的编号} <R \text{的编号}\)，所以应该采用 建树 的方式，而不是一个个插入。时间复杂度显然 \(\Theta(n)\) 。

那么区间翻转怎么做呢？我们应该先找出这一段区间。

怎么找？这就是许多区间操作的共同点了。

假设现在要翻转的区间为 \([l,r]\)。

我们先用一个查找函数找出数列中位置为 \(l-1,r+1\) 的结点编号，记作 \(x,y\)。

然后将 \(x\) 上旋（splay操作）至根，将 \(y\) 上旋至 \(x\) 的右儿子处。

那么这个神奇的 Splay 成了这个样子：

GoMwv9.png

然后就是在中间这个子树的根上 do sth.

由于操作区间都会向前/后延申一个位置，所以我们一般在最前、最后面插入 \(-\infty\) 作为虚拟结点。

inline void f(int l,int r) {
	l = select(l), r = select(r + 2);
        /*位置 1 和 n + 2 都是虚拟结点*/
	splay(l, 0), splay(r, l);
        /*do sth.*/
}

Modification

对于区间的修改操作，如区间翻转，通常不直接做，而是像线段树一样打标记。

那么我们也要像线段树一样有一个标记下传，那么什么时候下传呢？在 select 函数中边找边下传即可。

inline int select(int k) {
	for (register int rt = root; rt;) {
		pushdown(rt); /*<- 在这里下传*/
		if (k == size[ch[rt][0]] + 1) return rt;
		if (k < size[ch[rt][0]] + 1) rt = ch[rt][0];
		else k -= size[ch[rt][0]] + 1, rt = ch[rt][1];
	}
}

Query

这个非常简单，直接先选取区间，然后在中间的子树上获取信息即可。

Problem: 「Luogu P2042」 [NOI2005]维护数列

Code Sample

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <stack>
using namespace std;

const int N = 5e5 + 5;
const long long inf = 1e18;
typedef long long LL;

int ch[N][2], fa[N], size[N];
LL val[N], sum[N], lmax[N], rmax[N], mmax[N];
bool cov[N], rev[N];

LL ary[N];
int n, q, total = 0, root;
stack<int> rec;

inline int create() {
	if (rec.empty()) return ++total;
	int ret = rec.top();
	return rec.pop(), ret;
}
inline void clear(int rt) {
	ch[rt][0] = ch[rt][1] = fa[rt] = 0;
	val[rt] = lmax[rt] = rmax[rt] = 0;
	mmax[rt] = -inf;
	cov[rt] = rev[rt] = 0;
}

inline void maintain(int rt) {
	size[rt] = size[ch[rt][0]] + size[ch[rt][1]] + 1;
	sum[rt] = sum[ch[rt][0]] + sum[ch[rt][1]] + val[rt];
	lmax[rt] = max(lmax[ch[rt][0]], lmax[ch[rt][1]] + sum[ch[rt][0]] + val[rt]);
	rmax[rt] = max(rmax[ch[rt][1]], rmax[ch[rt][0]] + sum[ch[rt][1]] + val[rt]);
	mmax[rt] = max(max(mmax[ch[rt][0]], mmax[ch[rt][1]]), lmax[ch[rt][1]] + rmax[ch[rt][0]] + val[rt]);
}
inline void pushdown(int rt) {
	int &l = ch[rt][0], &r = ch[rt][1];
	if (cov[rt]) {
		rev[rt] = cov[rt] = 0;
		if (l) cov[l] = 1, val[l] = val[rt], sum[l] = val[rt] * size[l];
		if (r) cov[r] = 1, val[r] = val[rt], sum[r] = val[rt] * size[r];
		if (val[rt] >= 0) {
			if (l) lmax[l] = rmax[l] = mmax[l] = sum[l];
			if (r) lmax[r] = rmax[r] = mmax[r] = sum[r];
		} else {
			if (l) lmax[l] = rmax[l] = 0, mmax[l] = val[l];
			if (r) lmax[r] = rmax[r] = 0, mmax[r] = val[r];
		}
	}
	if (rev[rt]) {
		rev[rt] = 0;
		if (l) rev[l] ^= 1;
		if (r) rev[r] ^= 1;
		swap(lmax[l], rmax[l]);
		swap(lmax[r], rmax[r]);
		swap(ch[l][0], ch[l][1]);
		swap(ch[r][0], ch[r][1]);
	}
}

inline int get(int rt) {
	return rt == ch[fa[rt]][1];
}
inline void rotate(int x) {
	int y = fa[x], z = fa[y], c = get(x);
	ch[y][c] = ch[x][c ^ 1];
	fa[ch[x][c ^ 1]] = y;
	ch[x][c ^ 1] = y;
	fa[y] = x, fa[x] = z;
	if (z) ch[z][y == ch[z][1]] = x;
	maintain(y), maintain(x);
}
inline void splay(int x,int g) {
	for (register int f = fa[x]; (f = fa[x]) != g; rotate(x))
		if(fa[f] != g) rotate(get(f) == get(x) ? f : x);
	if (!g) root = x;
}

inline int select(int k) {
	for (register int rt = root; rt;) {
		pushdown(rt);
		if (k == size[ch[rt][0]] + 1) return rt;
		if (k < size[ch[rt][0]] + 1) rt = ch[rt][0];
		else k -= size[ch[rt][0]] + 1, rt = ch[rt][1];
	}
	throw;
}
int build(int l, int r, int f) {
	if (l>r) return 0;
	int rt = create(), mid = (l + r) >> 1;
	if (l == r) {
		val[rt] = sum[rt] = ary[mid];
		size[rt] = 1;
		ch[rt][0] = ch[rt][1] = 0;
		fa[rt] = f;
		lmax[rt] = rmax[rt] = max(0ll, val[rt]);
		mmax[rt] = val[rt];
		return rt;
	}
	val[rt] = ary[mid], fa[rt] = f;
	ch[rt][0] = build(l, mid - 1, rt);
	ch[rt][1] = build(mid + 1, r, rt);
	return maintain(rt), rt;
}

inline void insert(int pos, int tot) {
	if (!tot) return;
	int l = select(pos + 1), r = select(pos + 2);
	splay(l, 0), splay(r, l);
	ch[r][0] = build(1, tot, r);
	maintain(r), maintain(l);
}

void recycle(int rt) {
	if (!rt) return;
	rec.push(rt);
	recycle(ch[rt][0]);
	recycle(ch[rt][1]);
	clear(rt);
}
inline void erase(int pos, int tot) {
	if (!tot) return;
	int l = select(pos), r = select(pos + tot + 1);
	splay(l, 0), splay(r, l);
	recycle(ch[r][0]), ch[r][0] = 0;
	maintain(r), maintain(l);
}

inline void assign(int pos, int tot, LL c) {
	if (!tot) return;
	int l = select(pos), r = select(pos + tot + 1);
	splay(l, 0), splay(r, l);
	int x = ch[r][0];
	val[x] = c, sum[x] = size[x] * c;
	if (c >= 0) lmax[x] = rmax[x] = mmax[x] = sum[x];
	else lmax[x] = rmax[x] = 0, mmax[x] = val[x];
	cov[x] = 1;
	maintain(r), maintain(l);
}

inline void reverse(int pos, int tot) {
	if (!tot) return;
	int l = select(pos), r = select(pos + tot + 1);
	splay(l, 0), splay(r, l);
	int x = ch[r][0];
	if (cov[x]) return;
	swap(ch[x][0], ch[x][1]);
	swap(lmax[x], rmax[x]);
	rev[x] ^= 1;
	maintain(r), maintain(l);
}

inline LL getSum(int pos, int tot) {
	if (!tot) return 0ll;
	int l = select(pos), r = select(pos + tot + 1);
	splay(l, 0), splay(r, l);
	return sum[ch[r][0]];
}
inline LL getMaxSum() {
	int l = select(1), r = select(size[root]);
	splay(l, 0), splay(r, l);
	return mmax[ch[r][0]];
}

void out(int rt) {
	if (!rt) return;
	pushdown(rt);
	out(ch[rt][0]);
	cout << val[rt] << ' ';
	out(ch[rt][1]);
}

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin >> n >> q;
	
	for (register int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> ary[i + 1];
	ary[1] = ary[n + 2] = -inf;
	
	clear(0);
	root = build(1, n + 2, 0);
	
	while (q--) {
		string cmd;
		int pos, tot;
		LL c;
		
		cin >> cmd;
		if (cmd == "INSERT") {
			cin >> pos >> tot;
			for (register int i = 1; i <= tot; i++)	
				cin >> ary[i];
			insert(pos, tot);
		}
		if (cmd == "DELETE") {
			cin >> pos >> tot;
			erase(pos, tot);
		}
		if (cmd == "MAKE-SAME") {
			cin >> pos >> tot >> c;
			assign(pos, tot, c);
		}
		if (cmd == "REVERSE") {
			cin >> pos >> tot;
			reverse(pos, tot);
		}
		if (cmd == "GET-SUM") {
			cin >> pos >> tot;
			cout << getSum(pos, tot) << endl;
		}
		if (cmd == "MAX-SUM")
			cout << getMaxSum() << endl;
	}
}

标签：rt,总结,ch,val,套路,pos,tot,Splay,int
来源： https://www.cnblogs.com/-Wallace-/p/12670235.html

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