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傅里叶变换的推导

2020-03-03 11:40:49  阅读:731  来源: 互联网

标签:infty cos frac 推导 变换 傅里叶 t0 int omega


三角函数形式:

f(t)=a02+n=1[ ancos(nwt)+bnsin(nwt) ](1) f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty[~a_ncos(nwt)+b_nsin(nwt)~] \tag{1} f(t)=2a0​​+n=1∑∞​[ an​cos(nwt)+bn​sin(nwt) ](1)

a0=2Tππf(t)dt(2) a_{0}=\frac{2}{T} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) d t \tag{2} a0​=T2​∫−ππ​f(t)dt(2)

an=2Tt0t0+Tf(t)cos(nwt)dt(3) a_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)cos(nwt)dt \tag{3} an​=T2​∫t0​t0​+T​f(t)cos(nwt)dt(3)

bn=2Tt0t0+Tf(t)cos(nwt)dt(4) b_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)cos(nwt)dt \tag{4} bn​=T2​∫t0​t0​+T​f(t)cos(nwt)dt(4)

欧拉公式

先说说虚数这个概念
关于虚数的意义:
  虚数i这个概念大家在高中就接触过,但那时我们只知道它是-1的平方根,可是它真正的意义是什么呢?

  这里有一条数轴,在数轴上有一个线段,它的长度是1。当它乘以3的时候,它的长度发生了变化,变成了3,而当它乘以-1的时候,就变成了-3,或者说线段在数轴上围绕原点旋转了180度。

  我们知道乘-1其实就是乘了两次iii使线段旋转了180度,那么乘一次iii呢——答案很简单——旋转了90度。

在这里插入图片描述

  同时,我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面,也称复平面。这样我们就了解到,乘虚数i的一个功能——旋转。

通过欧拉公式
eiθ=cos(θ)+isin(θ) e^{i \theta}=\cos (\theta)+i \sin (\theta) eiθ=cos(θ)+isin(θ)

欧拉公式关键的作用:将正弦波统一成了简单的指数形式。

cos(θ)cos(\theta)cos(θ)和sin(θ)\sin (\theta)sin(θ)可以变形为:
cos(θ)=eiθ+eiθ2 \begin{array}{c} \cos (\theta)=\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2} \end{array} cos(θ)=2eiθ+e−iθ​​

sin(θ)=eiθeiθ2i=ieiθeiθ2\sin (\theta)=\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2 i}=-i \cdot \frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2}sin(θ)=2ieiθ−e−iθ​=−i⋅2eiθ−e−iθ​

待入(1)(1)(1)式得
f(t)=a02+n=1[aneinωt+einωt2ibneinωteinωt2]=a02+n=1[anibn2einωt+an+ibn2einωt](5) \begin{aligned} f(t) &=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \frac{e^{i n \omega t}+e^{-i n \omega t}}{2}-i b_{n} \frac{e^{i n \omega t}-e^{-i n \omega t}}{2}\right] \\ &=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{a_{n}-i b_{n}}{2} e^{i n \omega t}+\frac{a_{n}+i b_{n}}{2} e^{-i n \omega t}\right] \tag{5} \end{aligned} f(t)​=2a0​​+n=1∑∞​[an​2einωt+e−inωt​−ibn​2einωt−e−inωt​]=2a0​​+n=1∑∞​[2an​−ibn​​einωt+2an​+ibn​​e−inωt]​(5)

(2),(3),(4)(2),(3),(4)(2),(3),(4)待入得

anibn2=1T[t0t0+Tf(t)cos(nωt)dtit0t0+Tf(t)sin(nωt)dt]=1Tt0t0+Tf(t)[cos(nωt)isin(nωt)]dt=1Tt0t0+Tf(t)[einωt+einωt2i(i)einωteinωt2]dt=1Tt0t0+Tf(t)einwtdt \begin{aligned} \frac{a_{n}-i b_{n}}{2} &=\frac{1}{T}\left[\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) \cos (n \omega t) d t-i \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) \sin (n \omega t) d t\right] \\ &=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t)[\cos (n \omega t)-i \sin (n \omega t)] d t \\ &=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t)\left[\frac{e^{i n \omega t}+e^{-i n \omega t}}{2}-i \cdot(-i) \cdot \frac{e^{i n \omega t}-e^{-i n \omega t}}{2}\right] d t \\ &=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{-i n w t} d t \end{aligned} 2an​−ibn​​​=T1​[∫t0​t0​+T​f(t)cos(nωt)dt−i∫t0​t0​+T​f(t)sin(nωt)dt]=T1​∫t0​t0​+T​f(t)[cos(nωt)−isin(nωt)]dt=T1​∫t0​t0​+T​f(t)[2einωt+e−inωt​−i⋅(−i)⋅2einωt−e−inωt​]dt=T1​∫t0​t0​+T​f(t)e−inwtdt​

同理可得an+ibn2=1Tt0t0+Tf(t)einwtdt\frac{a_{n}+i b_{n}}{2}=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{i n w t} d t2an​+ibn​​=T1​∫t0​t0​+T​f(t)einwtdt

将两式代入到(5)中解得:
f(t)=1Tt0t0+Tf(t)dt+1Tn=1[t0t0+Tf(t)einutdteinωt+t0t0+Tf(t)eimutdteinωt]=1Tt0t0+Tf(t)dt+1Tn=1t0t0+Tf(t)einuttdteinωt+1Tn=1t0t0+Tf(t)einutdteinωt=1Tn=+t0t0+Tf(t)einwtdteinωt(6) \begin{aligned} f(t) &=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) d t+\frac{1}{T} \sum_{n=1}^{\infty}\left[\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{-i n u t} d t \cdot e^{i n \omega t}+\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{i m u t} d t \cdot e^{-i n \omega t}\right] \\ &=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) d t+\frac{1}{T} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{-i n u t t} d t \cdot e^{i n \omega t}+\frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{-1} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{-i n u t} d t \cdot e^{i n \omega t} \\ &=\frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{-i n w t} d t \cdot e^{i n \omega t} \tag{6} \end{aligned} f(t)​=T1​∫t0​t0​+T​f(t)dt+T1​n=1∑∞​[∫t0​t0​+T​f(t)e−inutdt⋅einωt+∫t0​t0​+T​f(t)eimutdt⋅e−inωt]=T1​∫t0​t0​+T​f(t)dt+T1​n=1∑∞​∫t0​t0​+T​f(t)e−inuttdt⋅einωt+T1​n=−∞∑−1​∫t0​t0​+T​f(t)e−inutdt⋅einωt=T1​n=−∞∑+∞​∫t0​t0​+T​f(t)e−inwtdt⋅einωt​(6)

cn=1Tt0t0+Tf(t)einwtdtc_{n}=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{-i n w t} d tcn​=T1​∫t0​t0​+T​f(t)e−inwtdt公式(6)(6)(6)可以简化为f(t)=+cneinwtf(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty} c_{n} \cdot e^{i n w t}f(t)=∑−∞+∞​cn​⋅einwt

abf(x)dx=limnbani=1nf(a+(ba)in) \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(a+\frac{(b-a) i}{n}\right) ∫ab​f(x)dx=n→∞lim​nb−a​i=1∑n​f(a+n(b−a)i​)

F(ωx)=t0t0+Tf(t)eiwxtdtF\left(\omega_{x}\right)=\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) e^{-i w_{x} t} d tF(ωx​)=∫t0​t0​+T​f(t)e−iwx​tdt,代入(6)(6)(6)式,得

f(t)=1Tn=++f(t)eiωxtdteiωxt=12πn=+[F(ωx)eiωxt]=12π+F(ωx)eiωxtdωx \begin{aligned} f(t) &=\frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega_{x} t} d t \cdot e^{i \omega_{x} t} \\ &=\frac{1}{2 \pi} \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left[F\left(\omega_{x}\right) \cdot e^{i \omega_{x} t}\right] \\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F\left(\omega_{x}\right) \cdot e^{i \omega_{x} t} d \omega_{x} \end{aligned} f(t)​=T1​n=−∞∑+∞​∫−∞+∞​f(t)e−iωx​tdt⋅eiωx​t=2π1​n=−∞∑+∞​[F(ωx​)⋅eiωx​t]=2π1​∫−∞+∞​F(ωx​)⋅eiωx​tdωx​​

我们得到傅里叶变换
F(ωx)=+f(t)eiwxtdt F\left(\omega_{x}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i w_{x} t} d t F(ωx​)=∫−∞+∞​f(t)e−iwx​tdt

反傅里叶变换

f(t)=12π+F(ωx)eiωxtdω f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F\left(\omega_{x}\right) \cdot e^{i \omega_{x} t} d \omega f(t)=2π1​∫−∞+∞​F(ωx​)⋅eiωx​tdω

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标签:infty,cos,frac,推导,变换,傅里叶,t0,int,omega
来源: https://blog.csdn.net/qq_30763385/article/details/104626991

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