标签:公理 可测 测度 样本 样本空间 空间 概率论 代数 结构
样本点
一个随机事件出现的可能的结果叫做样本点。
类比平面几何,线、面、体也是由点组成的集合,研究的是点线面关系及性质,同样样本点也是组成事件(集合)的材料,是集合的基本元素,把这些样本点用各种形状组合起来形成集合,站在集合论的基础上讨论研究。
代数
设是样本空间,是由的一些子集所构成集合簇,如果满足如下条件:
;
若,则;
若,则 ;
则称为代数。
代数
设是样本空间,是由的一些子集所构成集合簇,如果满足如下条件:
;
若,则;
若,则 ;
则称为代数。
容易证明,如果样本空间是有穷的,则它的任何代数也必是代数。
可测空间
把任一样本空间,以及由的子集所组成的一个代数写在一起,记为,称为具有代数结构的样本空间,或简称为可测空间。
概率
设是可测空间,对每一集,有一实数与之对应,记为(因此在上定义了一个集函数),如它满足下面三个条件:
对每一,有;
对必然事件,有;
(完全可加性)对任意,,恒有
则称实值集函数为上的概率,就称为事件的概率。
上面几个概念的层次关系是:设是一样本空间,为的代数,为上的概率,我们称具有上述结构的样本空间为概率空间,记为。
随机变量
设是一个概率空间,对于样本点,是一个取实值的单值函数;若对于任一实数,是一随机事件,亦即,则称为随机变量。
一个随机事件的样本点可能是数量性质的,也可能是非数量性质的,为数学研究方便把样本点进行数值化,即在样本点到建立一个映射。
另外需要注意下面两个概念和上面的区别与联系:
测度空间
在是一个可测空间的基础上,令且满足:
(非负性)对任意的,有;
(规范性);
(可列可加性)对任意的两两不相交的集合,有;
则称为可测空间上的测度,且称为测度空间。
容易证明,概率空间是一种特殊测度空间,就是实值集函数的值范围是,另外测度空间是在可测空间上定义一个测度,可测空间上还没有定义测度。
参考
- 《概率论及数理统计》第4版 中山大学;
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标签:公理,可测,测度,样本,样本空间,空间,概率论,代数,结构 来源: https://blog.csdn.net/yuebowhu/article/details/104435260
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