标签：分析 sigma 正弦 t0 信号 delta omega 时域

信号的时域分析

文章目录

• 信号的时域分析
• 0.前言
• 一.连续时间基本信号
• 1.普通信号
• （一）指数类信号
• （1）直流信号
• （2）实指数信号
• （3）等幅振荡正弦信号
• （4）不等幅振荡正弦信号
• (二)取样信号
• 2.奇异信号
• （1）斜坡信号$\quad r（t)$r（t)
• （2）单位阶跃信号 $u(t)$u(t)
• （3）单位冲激信号 $\delta(t)$δ(t)
• A.筛选特性
• B.抽样特性
• C.展缩特性
• D.卷积特性
• （4）单位冲激偶信号 $\delta’(t)$δ’(t)

0.前言

主要内容为：基本信号，基本运算，基本分解

代码演示图像参考

一.连续时间基本信号

1.普通信号

（一）指数类信号

$f(t)=K\,e^{\sigma t +j\omega t } \begin{cases} 直流信号\quad f(t)=K &\sigma=0, \omega=0 \\ 实指数信号 \ f(t)=K\,e^{\sigma t } & \sigma\neq0, \omega=0 \\ 等幅振荡正弦信号\ f(t)=K\,e^{ j\omega t}& \sigma=0, \omega\neq0 \\ 不等幅振荡正弦信号 \ f(t)=K\,e^{\sigma t+j\omega t }& \sigma\neq0, \omega \neq0 \end{cases}$f(t)=Keσt+jωt⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​直流信号f(t)=K实指数信号 f(t)=Keσt等幅振荡正弦信号 f(t)=Kejωt不等幅振荡正弦信号 f(t)=Keσt+jωt​σ=0,ω=0σ​=0,ω=0σ=0,ω​=0σ​=0,ω​=0​

$ 其中 -∞ < t < +∞，K 为振幅 $

其中 -∞ < t < +∞，K 为振幅， $ \omega为角频率 $

（1）直流信号

$f(t)=K $

（2）实指数信号

$f(t)=K\,e^{\sigma t}$f(t)=Keσt

• $\sigma$σ是决定信号幅度随时间增长或衰减的因子。

• $\tau= \frac {1}{|,\sigma ,|} $ ,称为实指数信号的时间常数。

  当$t= \tau$t=τ 时，$f(\tau)= K e^{-1}=0.368K$f(τ)=Ke−1=0.368K ,表示实指数信号衰减为初始值的36.8%

（3）等幅振荡正弦信号

$\f(t)=K,e^{ j\omega t} $

由 Euler 得
$f（t）=Ke^{j\omega t}=Kcos \omega t+jKsin\omega t$f（t）=Kejωt=Kcosωt+jKsinωt

（4）不等幅振荡正弦信号

$f(t)=K\,e^{\sigma t+j\omega t}$f(t)=Keσt+jωt

(二)取样信号

2.奇异信号

特征：数学表达式属于奇异函数，即在函数本身或其导数或高阶导数具有不连续点（跳变点）。

（1）斜坡信号$\quad r（t)$r（t)

$r(t)= \begin{cases} t & t>0 \\ 0& t<0 \end{cases}$r(t)={t0​t>0t<0​

（2）单位阶跃信号 $u(t)$u(t)

$u(t) = \begin{cases} 1 & t>0 \\ 0& t<0 \end{cases}$u(t)={10​t>0t<0​

作用：A. 阶跃信号可以表示任意矩形脉冲信号

​ B.利用阶跃信号的单边性表示信号的时间范围
$例：\quad sin\ wt·u(t-t_0) = \begin{cases} sin\ wt & t>t_0 \\ 0& t<=t_0 \end{cases}$例：sin wt⋅u(t−t0​)={sin wt0​t>t0​t<=t0​​

（3）单位冲激信号 $\delta(t)$δ(t)

$\delta (t) = \begin{cases} 0 & t\neq 0 \\ \rightarrow ∞& t=0 \end{cases}$δ(t)={0→∞​t​=0t=0​

也可以运用泛函数 表示，$ \phi (t) 为任意一个在t=0处连续的普通函数 $
$\begin{aligned} \int_{-∞}^{∞} \delta(t) ·\phi(t) \mathrm{d} t=\phi(0) \end{aligned}$∫−∞∞​δ(t)⋅ϕ(t)dt=ϕ(0)​
性质：

A.筛选特性

$x(t)\delta(t-t_0)\ = x(t_0)\delta(t-t_0)$x(t)δ(t−t0​) =x(t0​)δ(t−t0​)

B.抽样特性

$\begin{aligned} \int_{-∞}^{∞} \delta(t-t_0) ·\phi(t) \mathrm{d} t=\phi(t_0) \end{aligned}$∫−∞∞​δ(t−t0​)⋅ϕ(t)dt=ϕ(t0​)​

C.展缩特性

$\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)$δ(at)=∣a∣1​δ(t)

D.卷积特性

（4）单位冲激偶信号 $\delta’(t)$δ’(t)

$\delta’(t)=\frac{d\delta(t)}{dt}$δ’(t)=dtdδ(t)​

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来源： https://blog.csdn.net/qq_43235540/article/details/104118463

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