目录
背景
因为BST本身存在一定的缺陷，
还有毒瘤出题人故意卡
导致BST极容易退化成一条单链，时间复杂度从优秀的\(O(log_n)\)到了\(O(n)\)
各种各样的巨佬就开始优化BST
所以才产生了我们所熟悉（心态爆炸）的各式各样的数据结构
巨佬Sleator和Tarjan就是其中的两位人，用旋转的方案解决了这个缺陷
主要思想
对于一个数列，我们由此生成的BST不止一种，
所以每一种的BST的高度都不一样，导致效率不一样
但是我们可以通过旋转操作使得整个树自平衡，
但是又不改变它本身BST的性质
操作
旋转
思路
我们要做的就是将当前节点的深度-1，只改变当前节点和当前节点的父亲的位置关系，但是又不改变整棵树的BST的性质，
也就是说，我们现在有一棵树,当前节点为x，现在我们想让x的深度-1
成为这样一颗树
一共有四种情况，笔者将其中的一种拿出来，另外3中也都是大同小异，读者可以自己手玩
代码
void rotate(int x)
{
int y=tre[x].fa;
int z=tre[y].fa;
int k=tre[y].ch[1]==x;
tre[z].ch[tre[z].ch[1]==y]=x;
tre[x].fa=z;
tre[y].ch[k]=tre[x].ch[k^1];
tre[tre[x].ch[k^1]].fa=y;
tre[x].ch[k^1]=y;
tre[y].fa=x;
push_up(y);
push_up(x);
}splay
思路
我们发现旋转操作实际上并不能使整棵树自平衡，
而实际上splay的自平衡不是来源于单纯的旋转
而是splay
我们如果我们将当前节点的祖父（父亲的父亲）节点考虑进来，
我们就会发现只有两种情况，
第一种是当前节点两次都旋转一样的方向
第二种是当前节点两次旋转的方向不一样
这里的方向定义为他是父亲节点的哪一个儿子
巨佬Sleator和Tarjan告诉我们要想自平衡，必须要遵守一个策略
如果是情况1，两次旋转都转他自己
如果是情况2，就先转他的父亲，再转他自己
通过势函数中所说的@#$!@#
可以明白splay的均摊时间复杂度为\(O(log_n)\)
在每次操作后都要用splay，因为splay有着上传的作用
代码
void splay(int x,int goal)
{
while(tre[x].fa!=goal)
{
int y=tre[x].fa;
int z=tre[y].fa;
if(z!=goal)
{
if((tre[z].ch[0]==y)^(tre[y].ch[0]==x))
rotate(x);
else
rotate(y);
}
rotate(x);
}
if(goal==0)
rt=x;
push_up(x);
}将某个节点提到根节点
思路
直接在BST中找到这个点
再用splay转上去就好了
代码
void prepare(int x)
{
int u=rt;
if(!u)
return;
while(x!=tre[u].val&&tre[u].ch[x>tre[u].val])
{
if(x>tre[u].val)
{
u=tre[u].ch[1];
}
else
{
u=tre[u].ch[0];
}
}
splay(u,0);
}初始化
思路
因为蒟蒻笔者写的操作很多都是基于前驱与后继写的
所以最开始先插入极小值和极大值会好写很多
代码
void init()
{
rt=1;
cnt=2;
tre[0].fa=0;
tre[0].ch[0]=tre[0].ch[1]=0;
tre[0].tot=0;
tre[0].val=0;
tre[0].siz=0;
tre[1].fa=0;
tre[1].ch[0]=0;
tre[1].ch[1]=2;
tre[1].tot=1;
tre[1].val=INT_MIN;
tre[1].siz=2;
tre[2].fa=1;
tre[2].ch[0]=0;
tre[2].ch[1]=0;
tre[2].tot=1;
tre[2].val=INT_MAX;
tre[2].siz=1;
}前驱&后继
思路
暴力，反正时间复杂度也是\(O(log_n)\)
代码
int next(int x,int f)
{
prepare(x);
int u=rt;
if(tre[u].val>x&&f)
return u;
if(tre[u].val<x&&!f)
return u;
u=tre[u].ch[f];
while(tre[u].ch[!f])
u=tre[u].ch[!f];
return u;
}插入
思路
通过旋转插入这个点的前驱和后继，
将插入的点的位置确定下来
代码
void insert(int x)
{
int p=next(x,0);
int s=next(x,1);
splay(p,0);
splay(s,p);
if(tre[s].ch[0]==0)
{
tre[s].ch[0]=newnode(x,s);
splay(cnt,0);
}
else
{
tre[tre[s].ch[0]].tot++;
tre[tre[s].ch[0]].siz++;
splay(tre[s].ch[0],0);
}
}删除
思路
同插入一样的思路
代码
void delet(int x)
{
int p=next(x,0);
int s=next(x,1);
splay(s,0);
splay(p,s);
if(tre[tre[p].ch[1]].tot>1)
{
tre[tre[p].ch[1]].tot--;
tre[tre[p].ch[1]].siz--;
splay(tre[p].ch[1],0);
}
else
{
tre[p].ch[1]=0;
splay(p,0);
}
}排名
思路
将要询问的点转到根节点
之后查询儿子的大小就行了
代码
int rank(int x)
{
prepare(x);
return tre[tre[rt].ch[0]].siz;
}第k大
思路
暴力
代码
int kth(int x)
{
x++;
int u=rt;
while(1)
{
if(tre[tre[u].ch[0]].siz<x&&x<=tre[tre[u].ch[0]].siz+tre[u].tot)
{
return tre[u].val;
}
if(tre[tre[u].ch[0]].siz+tre[u].tot<x)
{
x=x-tre[tre[u].ch[0]].siz-tre[u].tot;
u=tre[u].ch[1];
}
else
u=tre[u].ch[0];
}
}板子
这里以洛谷P3369为例
#include<iostream>
#include<climits>
using namespace std;
struct Splay
{
#define MAXN 100005
struct node
{
int fa;
int ch[2];
int tot;//相同键值的数的个数
int val;//键值
int siz;//个数
}tre[MAXN];
int rt;
int cnt;
#undef MAXN
void init()
{
rt=1;
cnt=2;
tre[0].fa=0;
tre[0].ch[0]=tre[0].ch[1]=0;
tre[0].tot=0;
tre[0].val=0;
tre[0].siz=0;
tre[1].fa=0;
tre[1].ch[0]=0;
tre[1].ch[1]=2;
tre[1].tot=1;
tre[1].val=INT_MIN;
tre[1].siz=2;
tre[2].fa=1;
tre[2].ch[0]=0;
tre[2].ch[1]=0;
tre[2].tot=1;
tre[2].val=INT_MAX;
tre[2].siz=1;
}
int newnode(int x,int fa)
{
++cnt;
tre[cnt].fa=fa;
tre[cnt].ch[0]=tre[cnt].ch[1]=0;
tre[cnt].tot=1;
tre[cnt].val=x;
tre[cnt].siz=1;
return cnt;
}
void push_up(int k)
{
tre[k].siz=tre[tre[k].ch[0]].siz+tre[tre[k].ch[1]].siz+tre[k].tot;
}
void rotate(int x)
{
int y=tre[x].fa;
int z=tre[y].fa;
int k=tre[y].ch[1]==x;
tre[z].ch[tre[z].ch[1]==y]=x;
tre[x].fa=z;
tre[y].ch[k]=tre[x].ch[k^1];
tre[tre[x].ch[k^1]].fa=y;
tre[x].ch[k^1]=y;
tre[y].fa=x;
push_up(y);
push_up(x);
}
void splay(int x,int goal)
{
while(tre[x].fa!=goal)
{
int y=tre[x].fa;
int z=tre[y].fa;
if(z!=goal)
{
if((tre[z].ch[0]==y)^(tre[y].ch[0]==x))
rotate(x);
else
rotate(y);
}
rotate(x);
}
if(goal==0)
rt=x;
push_up(x);
}
void prepare(int x)
{
int u=rt;
if(!u)
return;
while(x!=tre[u].val&&tre[u].ch[x>tre[u].val])
{
if(x>tre[u].val)
{
u=tre[u].ch[1];
}
else
{
u=tre[u].ch[0];
}
}
splay(u,0);
}
int next(int x,int f)
{
prepare(x);
int u=rt;
if(tre[u].val>x&&f)
return u;
if(tre[u].val<x&&!f)
return u;
u=tre[u].ch[f];
while(tre[u].ch[!f])
u=tre[u].ch[!f];
return u;
}
void insert(int x)
{
int p=next(x,0);
int s=next(x,1);
splay(p,0);
splay(s,p);
if(tre[s].ch[0]==0)
{
tre[s].ch[0]=newnode(x,s);
splay(cnt,0);
}
else
{
tre[tre[s].ch[0]].tot++;
tre[tre[s].ch[0]].siz++;
splay(tre[s].ch[0],0);
}
}
void delet(int x)
{
int p=next(x,0);
int s=next(x,1);
splay(s,0);
splay(p,s);
if(tre[tre[p].ch[1]].tot>1)
{
tre[tre[p].ch[1]].tot--;
tre[tre[p].ch[1]].siz--;
splay(tre[p].ch[1],0);
}
else
{
tre[p].ch[1]=0;
splay(p,0);
}
}
int rank(int x)
{
prepare(x);
return tre[tre[rt].ch[0]].siz;
}
int kth(int x)
{
x++;
int u=rt;
while(1)
{
if(tre[tre[u].ch[0]].siz<x&&x<=tre[tre[u].ch[0]].siz+tre[u].tot)
{
return tre[u].val;
}
if(tre[tre[u].ch[0]].siz+tre[u].tot<x)
{
x=x-tre[tre[u].ch[0]].siz-tre[u].tot;
u=tre[u].ch[1];
}
else
u=tre[u].ch[0];
}
}
}tre;
int n;
int opt,x;
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
tre.init();
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>opt>>x;
if(opt==1)
{
tre.insert(x);
}
if(opt==2)
{
tre.delet(x);
}
if(opt==3)
{
cout<<tre.rank(x)<<'\n';
}
if(opt==4)
{
cout<<tre.kth(x)<<'\n';
}
if(opt==5)
{
cout<<tre.tre[tre.next(x,0)].val<<'\n';
}
if(opt==6)
{
cout<<tre.tre[tre.next(x,1)].val<<'\n';
}
}
return 0;
}标签：ch,int,siz,tre,splay,fa,芝士 来源： https://www.cnblogs.com/loney-s/p/12171913.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。