Groups and Coding（群与编码）
编码理论:通过引入冗余信息(检验位)来帮助检测和纠正错误
- 基础定义:
- 通过定义在mod2加法上的群B来定义群\(B^m\):
在信号传输通道(Transmission channel)中，可能会产生噪声(Noise)，使得接收到错误的码字
编码函数(Encoding function)
- 选择一个双射(one-to-one)函数e:\(B^m -> B^n(n>m)\)：
- 那么e称作(m, n)编码函数，将\(B^m\)中的每个码字表示在\(B^n\)中；
- 如果\(b ∈ B^m\)，那么e(b)称作代表b的代码字(code word)
- 显然，如果在传输过程中没有噪音，那么对于任意传输方编码的x = e(b)∈\(B^n\)，接收方收到的\(x_t = x\)；又由于编码函数e已知，故可直接解码出信息b
- 但是，传输过程中发生错误很常见，如果在传输前后的代码字x的\(x_t\)存在k个位置不同，那么我们就说x=e(b)传输错误为k
差错检测(Error detect)
假设e:\(B^m -> B^n\)是一个(m, n)编码函数:
- 显然，如果x = e(b)在传输过程中传输错误为k，那么接收方收到的\(x_t\)就不是一个代码字(\(x_t!=x\), 无法直接解码为b)
- 对于\(x ∈ B^n\),我们称x中1的个数为x的权(weight)，并记为:\(|x|\)
奇偶校验码(parity check code)和其他编码函数
定义奇偶校验编码函数(偶校验)e：\(B^m -> B^{m+1}\),且(\(b_{m+1} = |b|⊕0\)):
考虑一个(m, 3m)编码函数e:
下给出所有的对3位信息编码后的代码字:
显然，如果接收方收到的码字01111101，这不是代码字(code word)，说明传输过程中发生了传输错误
海明距离(Hamming distance)
- 设x，y均是属于\(B^m\)的码字，我们定义x和y的海明距离(Hamming distance)\(θ(x, y) = |x⊕y|\)，即x⊕y的权(weight)
- x和y的海明距离的直观表述是:码字x和y中对应位不同的位置的个数，也称为码距(distance)
关于海明距离的一些性质:
note:(d)的证明利用了⊕运算的结合律
最小距离(Minimum distance)
编码函数e：\(B^m -> B^n\)的最小距离，是指任意两个代码字(code word)的距离的最小值，也就是
min{ \(θ(e(x), e(y)) | x, y ∈ B^m\)}
定理:(m, n)编码函数能检测k或更少的错误 \(<==>\) 该编码函数的最小距离\(>=\) k+1
群编码(Group Codes)
如果(m, n)编码函数e:\(B^m -> B^n\)满足:$e(B^m) = \({\)e(b) | e(b) ∈ Bn \(} ,并且有，\)e(B^m)\(是\)B^n$的子群，那么我们称e为群码(Group Codes)
exp：
note:求出N = \(e(B^m)\)，再判断是否为\(B^n\)的子群(关于⊕的封闭性，单位元，逆元)
定理:假设e:\(B^m -> B^n\)是一个群码，那么:e的最小距离就是所有代码字的非零码字的权的最小值
证明:(最小距离肯定大于0-->因为不可能有两个码字编码后是一样的)
exp:
note:由上可见群码的好处
群编码(函数)的构造
布尔矩阵
- 定义矩阵异或运算(mod 2加法):D ⊕ E
- 定义矩阵布尔乘运算(mod 2布尔乘):D * E
那么可以有如下定理:⊕ 和 *对于矩阵具有分配律，即(D ⊕ E) * F = (D * F) ⊕ (E * F).
我们定义\(x = x_1x_2…x_n ∈ B_n\)为一个1×n的矩阵\([x_1 x_2 … x_n]\),我们得到如下定理:
如果\(0<m<n,r = n-m\),并且令H为一n×r的布尔矩阵，那么有:
- \(f_H:B^n -> B^r, 且f_H(x) = x*H,x∈B^n\) ，那么\(f_H\)是从群\(B^n\)到群\(B^r\)的一个同态
证明(⊕ 和 *的分配律):
推论1:
设\(m,n,r,H和f_H是刚刚推论中定义的\)，那我们可以得到如下信息:
- \(N = \{x ∈ B^n | x * H = 0\}是B^n的一个正规子群\)
证明:
\(N是同态f_H的核(kernel), 故N是B^n的一个正规子群\)
一致性检验矩阵(Parity check matrix)
定义:\(令m<n,r=n-m,那么下面这个n×r的布尔矩阵称为\)一致性检验矩阵:
- 定义编码函数\(e_H:B^m -> B^n\):
\(b_{1×m} = b_1b_2...b_m\)
\(那么代码字x_{1×n}=e_H(b)=b_1b_2...b_mx_1x_2...x_r=b_{1×m}x_{1×r}\),其中:
- 完整矩阵表达形式:
最后的定理:
- 充分性:
- 必要性:
推论2(即其证明):
EXP:
Note:可见，如果有了一致检验性矩阵，我们可以通过右乘\([I_{m×m} H_{m×r}]\)来实现\(B^m -> B^n\)的群编码，同时也能通过右乘\(\begin{bmatrix} H_{m×r} \\ I_{r×R} \end{bmatrix}\)得到的结果是否为 0 来判断传输过程中是否发生错误
标签：编码,函数,矩阵,11.1,传输,码字,定义 来源： https://www.cnblogs.com/SpicyArticle/p/11831321.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。