标签：... 那么 卡组 状态 11111 ...... overline 最优 联考
题目
【内存限制：512 MiB】【时间限制：1000 ms】 【标准输入输出】【题目类型：传统】【评测方式：文本比较】题目描述
$chitanda$ 有 $k$ 个卡包，第 $i$ 个卡包里有 $c_i$ 张卡，每张卡有一个能力值，其中第 $i$ 个卡包里的第 $j$ 张卡具有 $a_{i, j}$ 点能力值。他准备选择 $k$ 张卡牌的组合，其中每个卡包要选择恰好一张卡牌。他希望这 $k$ 张卡牌的能力值之和尽量大，请你告诉他在所有可能的组合里，能力值之和最大的 $n$ 个组合分别具有多大的能力值。
输入格式
第一行包含两个整数 $k$ 和 $n$，含义见题目描述。接下来 $k$ 行，每行描述一个卡包的信息，其中第 $i$ 行的第一个整数表示 $c_i$，接下来该行会有 $c_i$ 个整数，依次表示这个卡包里每张卡的能力值。
输出格式
输出一行，包含 $n$ 个整数，相邻两个数字之间用空格隔开，其中第 $i$ 个整数表示第 $i$ 大的能力值之和。样例
样例输入2 9 3 1 3 5 3 2 3 3样例输出
8 8 7 6 6 5 4 4 3
样例解释
$chitanda$ 有 $3 \times 3$ 种选法，能力值分别为 $1 + 2, 1 + 3, 1 + 3, 3 + 2, 3 + 3, 3 + 3, 5 + 2, 5 + 3, 5 + 3$。数据范围与提示
对于所有数据，$k \geq 2,$ $1 \leq n \leq \prod\limits_{i = 1}^{k}{c_i},$ $c_i \geq 1,$ $1 \leq a_{i, j} \leq 10^9$ $(i = 1, 2, \cdots, k; j = 1, 2, \cdots, c_i)$。
题解
做题经历
考试的时候想到一个很类似于正解的东西，预估时间复杂度 $O(nk)$ ，但是想到很多限制，结果代码都不敢码......
最后痛失 $50pts$ 。
接下来说一下这个思路吧。
$SUBSULOTION#50pts$
首先，我们先将每个卡组内的卡从大到小排个序。
然后，我们再定义一个数字串，定义不方便说，直接拿例子解释
有这样一个数字串：
数位: $12345$
数串: $13211$
这个数串表示的意思就是：在这种情况下，第一组取的是第一大的，第二组取的是第三大的，第三组取的是第二大的......以此类推
那么，毫无疑问，最大的能力值一定是 $11111$
然后呢？次大的呢？
我们不知道次大的是哪个，但是我们肯定可以保证次大在 $21111、12111、11211、11121、11112$ 中
我们把这些数串叫做子状态
那么这个思路就出来了：
把状态放进优先队列里面，每次取出最大的状态，输出，再放进它的子状态......重复 $n$ 次即可。
但是这样呢，每个状态会最多被放入 $k$ 次，为什么？
举个栗子：
状态 $23426$
它可能被 $13426、22426、23326、23416、23425$ 放进去。
那么时间复杂度大概是 $O(n\cdot k\cdot log)$
看看范围，还可以过一半，挺好......
正解
一道思路诡异的贪心题，但是这个思路也不是不可想，只是要分析到点上。
我们其实可以在 $50pts$ 的思路上加以改进。
首先，超时思路为什么会时间复杂度高？
是因为同一个状态被最多放进了 $k$ 次。
那么怎么解决这个问题呢？
这里有一个最终的解决方法，先说出来，然后解释其正确性以及如何思考。
首先，我们可以在输入的时候得到 $k$ 个串 $a_{i,j}$ 表示第 $i$ 组卡牌的能力值
将每个组内卡牌从大到小排序，然后设 $val_i=a_{i,1}-a_{i,2}$
具体意思就是 $val_i$ 表示第 $i$ 组中最大的牌减次大的牌的值
再按照 $val_i$ 从大到小把数组顺序重排
在处理完这些之后，我们来看怎么放进状态的子状态
设我们有一个状态 $\overline{×××...××××ab11111......11111}$
其中 $×$ 不用管，就是来占位置用的，而 $b$ 之前全是 $1$
那么我们会对这个状态做出三个转移，其中一个是特例：
- 子状态一：$\overline{×××...××××a(b+1)11111......11111}$
- 子状态二：$\overline{×××...××××ab21111......11111}$
- 子状态三（仅当 $b=2$ 时）：$\overline{×××...××××a(b-1)21111......11111}=\overline{×××...××××a121111......11111}$
最后把他们放入优先队列，同样地维护即可。
那么这样做有什么好处吗？
首先，它不会出现重复状态被压入优先队列。
为什么？
假设队列中有这样一个状态：$\overline{×××...××××ab11111......11111}$（注意不要和之前的状态混淆了）
如果 $b≥2$ 且当 $b=2$ 时 $a≠1$ ,那么它只有一个前驱 $\overline{×××...××××a(b-1)11111......11111}=\overline{×××...××××a111111......11111}$
但是如果 $b=2$ 且 $a=1$ 时，我们可以否决其前驱是 $\overline{×××...××××a(b-1)11111......11111}=\overline{×××...××××1111111......11111}$ ，这个很好想
那么它的祖先就有且只有 $\overline{×××...××××1211111......11111}$ ，就是那种特殊子状态
所以说，这样转移显然每种状态就只会出现一次
那么，它还有什么优势呢？
又来举同一个栗子，我们有状态 $\overline{×××...××××ab11111......11111}$
那么，当不是特殊情况时，我们的转移是 $\overline{×××...××××(a+1)b11111......11111}$ 或者是 $\overline{×××...××××a(b+1)11111......11111}$
那么，这两种状态。是否都比 $\overline{×××...××××(a+1)b11111......11111}$ 小呢？答案是肯定的。
但如果是特殊情况：$\overline{×××...××××2111111......11111}\Rightarrow \overline{×××...××××1211111......11111}$
这样转移的话，子状态是否也是比前驱状态小呢？
答案也是肯定的。
为什么？提示：这和我们开始时那个特别的排序也是有关的。
综上，这个处理方案有两点好处：
- 状态唯一
- 子状态大小有序
那么我们看一看，其时间复杂度是不会超过 $O(3nlog)$ 的。
但是又有一个问题：这个神仙思路是怎么想到的呢?
首先，对于 $50pts$ 的思路是一定要想到的，然后对于时间复杂度进行分析。 时间复杂度 $O(knlog)$ ，首先这个 $n$ 是一定跑不掉的，然后 $log$ 也肯定是有的，因为我们始终要用堆进行维护。 那么我们就要尽可能地将 $k$ 变小。 这个 $k$ 是跟子状态有关的，那么我们要尽可能减小子状态的数量。 那么，我们引入一个比较好想的思路：每次只更改第一个不是 $1$ 的位置 比如对于一个状态：$\overline{×××...××××ab11111......11111}$ 那么它的子状态就是 $\overline{×××...××××a(b+1)11111......11111}$ 或者 $\overline{×××...××××ab21111......11111}$ 但是有一种情况：$\overline{211...112}$，在我们的子状态定义中是够不到的。 所以还要再定义一个子状态：$\overline{×××...××××a(b-1)(1+1)111......11111}$，再普遍一点：$\overline{×××...××××(a-1)(b+1)1111......11111}$ 这样我们就可以从$211..1$ 到 $1211...11$ 到 $1121...11$ ....到 $1111...2$，把这种特殊情况包含进去 但是这样又会有一个问题了，举个栗子，状态 $232$ 可以通过状态 $241$ 得到，也可以通过 $231$ 得到，这样就重复了。 所以为了避免重复，我们只在 $a=1,b=2$ 时进行最后一次子状态下传。 而将 $a=1,b=2$ 转成 $a=2,b=1$ 的同时，又要保证先大后小，就加入了那个奇奇怪怪的排序方式。
$AC$ 思路就是这样，代码：
题解都打了那么多，代码却写不出来了......
标签：...,那么,卡组,状态,11111,......,overline,最优,联考 来源： https://www.cnblogs.com/MachineryCountry/p/11728008.html
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