标签：拉格朗 underset matrix max geq beta 对偶性 alpha

拉格朗日对偶性

原始问题：

$\underset{x}{min}f(x)$

$\begin{matrix}
s.t. & c_{i}(x)\leq 0，i=1\sim k \\
 &h_{j}(x)= 0，j=1\sim l  
\end{matrix}$

广义拉格朗日函数

$L(x,\alpha ,\beta )=f(x)+\sum_{i=1}^{k}\alpha _{i}c_{i}(x)+\sum_{j=1}^{l}\beta _{i}h_{j}(x)$

$\alpha _{i}\geq 0$

$\alpha _{i}$和$\beta _{i}$为拉格朗日乘子；

$\theta _{p}(x)=\underset{\alpha ,\beta ,\alpha _{i}\geq 0}{max}L(x,\alpha ,\beta )$

由于$h_{j}(x)=0$，第三项为0，$c_{i}(x)\leq 0$

则对于max L

$\left.\begin{matrix}
c_{i}(x)=0\\
c_{i}(x)< 0,\alpha _{i}=0
\end{matrix}\right\}故第二项为0$

则$\theta _{p}(x)=f(x)$

$\underset{x}{min}\theta _{p}(x)=\underset{x}{min}\underset{\alpha ,\beta， \alpha _{i}\geq 0}{max}L(x,\alpha ,\beta )$

即为原始问题

对偶问题

$\underset{\alpha ,\beta, \alpha _{i}\geq 0}{max}\underset{x}{min}L(x,\alpha ,\beta )$

1、若原始问题和对偶问题都有最优值，则

$max minL=minmaxL$

且最优解同时为$x^{*},\alpha ^{*},\beta ^{*}$（有解则解相同）

2、KKT（有解$\Leftrightarrow$满足KKT）

$\begin{matrix}
\bigtriangledown _{x}L(x,\alpha ,\beta )=0\\
\alpha _{i}c_{i}(x_{i})=0\\
c_{i}(x_{i})\leq 0\\
\alpha _{i}\geq 0\\
h_{j}(x)=0
\end{matrix}$

第一个条件为偏导等于0；

第二个为原始问题的中间结果；

最后三个为原始约束条件；

标签：拉格朗,underset,matrix,max,geq,beta,对偶性,alpha
来源： https://www.cnblogs.com/danniX/p/10759233.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。