标签：frac gcd sum 莫反 times mu 解法 输入

8.16杭二的莫反题没有推出来

求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nlcm(a_i,a_j)\)

解法：同机房奆佬解法

\[ \begin{align} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nlcm(a_i,a_j)\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{a_i\times a_j}{gcd(a_i,a_j)}\\ &=\sum_{d=1}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{a_i\times a_j}{d}[d=gcd(a_i,a_j)]\\ &=\sum_{d=1}\sum_{d|a_i}\sum_{d|a_j}\frac{a_i\times a_j}{d}[1=gcd(\frac{a_i}{d},\frac{a_j}{d})]\\ &=\sum_{d=1}\sum_{d|a_i}\sum_{d|a_j}\frac{a_i\times a_j}{d}\sum_{k=1}\mu(k)[k|gcd(\frac{a_i}{d},\frac{a_j}{d})]\\ &=\sum_{d=1}\sum_{k=1}\mu(k)\sum_{dk|a_i}\sum_{dk|a_j}\frac{a_i\times a_j}{d}\\ &=\sum_{T=1}\sum_{k|T}\mu(k)\sum_{T|a_i}\sum_{T|a_j}k\frac{a_i\times a_j}{T}\\ &=\sum_{T=1}^{max\{a_i\}}\sum_{k|T}k\times \mu(k)\sum_{T|a_i}\sum_{T|a_j}\frac{a_i\times a_j}{T}\\ \end{align} \]

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