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题目

$\forall A_{s×n}\Rightarrow$∀As×n​⇒
$rank(A'A)=rank(AA')=rank(A)$rank(A′A)=rank(AA′)=rank(A)

证明

（我觉得这个证明很好，有代表性，给出了证明秩的两个思路：①从方程组的解空间方向思考②从矩阵的最高阶不为0的子式思考）

法①方程组的解空间

• 若$rank(A'A)=rank(A)\Rightarrow n-rank(A'A)=n-rank(A)$rank(A′A)=rank(A)⇒n−rank(A′A)=n−rank(A)
• $\Rightarrow$⇒想到证明$A'AX=0$A′AX=0和$AX=0$AX=0的解空间一致
• 由于$AX=0$AX=0$\Rightarrow A'AX=0(√)$⇒A′AX=0(√)
• 只需证明$A'A\eta=0$A′Aη=0$\Rightarrow A\eta=0$⇒Aη=0
• 注意注意！骚操作来了！！让$A'A\eta$A′Aη左乘$\eta'\Rightarrow$η′⇒ $\eta'A'A\eta=0\Rightarrow (A\eta)'(A\eta)=0$η′A′Aη=0⇒(Aη)′(Aη)=0$\Rightarrow A\eta=0$⇒Aη=0
• 所以$AX=0$AX=0与$A'AX=0$A′AX=0同解$\Rightarrow rank(A'A)=rank(A)\Rightarrow$⇒rank(A′A)=rank(A)⇒ $rank(AA')=rank((A')'A')=rank(A')=rank(A)$rank(AA′)=rank((A′)′A′)=rank(A′)=rank(A)

法②子式

• 令$rank(A)=r$rank(A)=r
• 由$rank(AB)\le min\{rank(A),rank(B)\}\Rightarrow rank(AA')\le r$rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)}⇒rank(AA′)≤r
• 只需再证$rank(AA')\ge r\Leftrightarrow AA'$rank(AA′)≥r⇔AA′只有一个$r$r阶子式不为0
• $\Rightarrow$⇒由Binet-cauchy公式的应用，$AA&#x27;$AA′的$\forall r$∀r阶主子式(它也是一个值哦)为$AA&#x27;\begin{pmatrix}i_1,&amp;i_2,&amp;...,&amp;i_r\\i_1,&amp;i_2,&amp;...,&amp;i_r\end{pmatrix}$AA′(i1​,i1​,​i2​,i2​,​...,...,​ir​ir​​) $=\sum\limits_{1\le v_1&lt; v_2&lt;...&lt;v_r\le n}A\begin{pmatrix}i_1,&amp;i_2,&amp;...,&amp;i_r\\v_1,&amp;v_2,&amp;...,&amp;v_r\end{pmatrix}A&#x27;\begin{pmatrix}v_1,&amp;v_2,&amp;...,&amp;v_r\\i_1,&amp;i_2,&amp;...,&amp;i_r\end{pmatrix}$=1≤v1​<v2​<...<vr​≤n∑​A(i1​,v1​,​i2​,v2​,​...,...,​ir​vr​​)A′(v1​,i1​,​v2​,i2​,​...,...,​vr​ir​​) $=\sum\limits_{1\le v_1&lt; v_2&lt;...&lt;v_r\le n}\Big[A\begin{pmatrix}i_1,&amp;i_2,&amp;...,&amp;i_r\\v_1,&amp;v_2,&amp;...,&amp;v_r\end{pmatrix}\Big]^2$=1≤v1​<v2​<...<vr​≤n∑​[A(i1​,v1​,​i2​,v2​,​...,...,​ir​vr​​)]2
• 由于$rank(A)=r\Rightarrow$rank(A)=r⇒有一个$r$r阶子式$\ne0\Rightarrow AA&#x27;$̸​=0⇒AA′有一个$r$r阶子式$\ne 0\Rightarrow rank(AA&#x27;)\ge r$̸​=0⇒rank(AA′)≥r

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来源： https://blog.csdn.net/universe_1207/article/details/98500636

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