标签：月赛 基环 联通 题解 mn 最小 边数 森林

原题链接：
bzoj

题意简述

一个$n*m$n∗m的矩阵，要放$n+m$n+m个守卫，每个守卫只能守住所在行或所在列（只能选择一个）。在$i,j$i,j位置上放守卫的代价是$w[i][j]$w[i][j]，求：守住所有行和列的最小代价和。

数据

输入

n m
//行，列。n,m<=100000,但是注意
n*m<=100000！！！

x x ... x
x x ... x
. . ... .
x x ... x
//n*m个，第i行第j个表示w[i][j]

输出

ans//最小代价

思路

像这种$n*m&lt;=100000$n∗m<=100000的题，通常考虑建图。
（参考CF1012B，这个题也是类似的建图方法。只不过建完图后是个并查集）

显然就是第$i$i行和第$j$j列连一条权为$w[i][j]$w[i][j]的无向边了。那么，最后的状态是啥？
不太清楚。但是我们发现，一共有$n+m$n+m个点，和$n+m$n+m条边。
我们惊奇的发现：$\color{#ff0000}{点数=边数！！！}$点数=边数！！！
并且。。。仿佛不一定联通。。。
这是什么图捏?如果你有一定的图论基础，那么这个玩意就是：

最小基环森林

珂是它怎么求。。。
我们都会求最小生成树，这里我们讲$Kruskal$Kruskal算法。在$Kruskal$Kruskal的过程中，我们用并查集维护某些点是否在树上。如果有一条边连接了两个树点，那么就会出现环，就不合Fa♂，然后就会跳过这条边，最后得到生成树。

但是最小基环森林珂不一样。珂以有环么？珂以！但是注意只能有一个环，多了就不是"基环"森林了。多环森林？那还是森林么。。。 考虑并查集带权，维护联通块内环数量。当我们合并$x,y$x,y的时候，

1. 不在同一个联通块内。
   此时要确保$x$x和$y$y不能同时有环，要不然就会生成两个及以上的环。
2. 在同一个联通块内。
   同时所在的联通块内不能有环。在一个基环树上再加一条边，就会出现更多的环，也是不合法的。

注意记录环的个数。

我是练习时长一年半的Oier:LightningUZ，喜欢CE，TLE，RE，洛谷。
代码(Music)：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandle_Scarlet
{
    #define N 300100
    #define int long long
    struct Edge
    {
        int u,v,w;
    }E[N<<1];int cnt=0;
    bool operator<(const Edge &a,const Edge &b){return a.w<b.w;}
    void AddEd(int u,int v,int w){E[++cnt]=(Edge){u,v,w};}
    int Cycle[N];//判断有没有环的数组,准确来讲是个bool型
    class DSU
    {
        public:
            int Father[N];
            void Init()
            {
                for(int i=0;i<N;++i)
                {
                    Father[i]=i;
                }
            }
            int Find(int x)
            {
                return Father[x]==x?x:Father[x]=Find(Father[x]);
            }
            void Merge(int x,int y)
            {
                int ax=Find(x),ay=Find(y);
                Father[ay]=ax;
            }
    }D;
    void R1(int &x)
    {
        x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        x=(f==1)?x:-x;
    }
    int n,m;
    void Input()
    {
        R1(n),R1(m);
        cnt=0;
        D.Init();
        memset(Cycle,0,sizeof(Cycle));
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            for(int j=1;j<=m;++j)
            {
                int w;
                R1(w);
                AddEd(i,j+n,w);
            }
        }
    }
 
    void Kruskal_()//不那么标准的Kruskal，用来求最小基环森林
    {
        sort(E+1,E+cnt+1);
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=cnt;++i)
        {
            int u=E[i].u,v=E[i].v,w=E[i].w;
            int au=D.Find(u);
            int av=D.Find(v);
            if (Cycle[au] and Cycle[av]) continue;//不能都有环
            else if (au!=av)//不同联通块
            {
                D.Father[av]=au;
                Cycle[au]|=Cycle[av];//有环的关系是或起来的
            }
            else if (Cycle[au]==0)
            {
                Cycle[au]=1;//这个就直接变成有环了
            }
            ans+=1ll*w;//记录代价和
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    void Soviet()
    {
        Kruskal_();
    }
 
    void IsMyWife()
    {
        if (0)
        {
            freopen("","r",stdin);
            freopen("","w",stdout);
        }
        Input();
        Soviet();
    }
    #undef int //long long
};
int main()
{
    Flandle_Scarlet::IsMyWife();
    return 0;
}

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标签：月赛,基环,联通,题解,mn,最小,边数,森林
来源： https://blog.csdn.net/LightningUZ/article/details/94405501

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