标签：25 树状 int 简介 sum place 数组 lowbit
简单讲一下我对树状数组的理解
c[i]等于它所管辖区域的a的和(或者其他的)
这就是树状数组的原理
树状数组的优势在于代码好写，常数较小
缺点是适用范围较小，只适用于可以从\([1,r]\)和\([1,l]\)推出\([l,r]\)的问题
本质上就是利用了倍增的思想
以下代码以求前缀和(单点修改，区间查询)为例,数组下标从1开始,a[i]为初始数组，c[i]为树状数组
1.最基本的\(O(1)\)lowbit
这可以得到当前数字二进制表示下的最后一个1是代表的多大的数
例如\(25_{(2)}=11001 \quad lowbit(25)=1\),\(24_{(2)}=1100 \quad lowbit(24)=8\)
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);//eg:25=11001,-25=00110(按位取反)+1=00111,25&(-25)=1(与运算就是两个二进制数按位比较，都为1则为1）
}2.\(O(\log_{2}{n})\)修改
void modify(int place,int val)
{
for(int i=place;i<=n;i+=lowbit(i))//i+=lowbit(i)可以这么理解:把最后一个1的位置加一个1并进位,如6会变成8,5会变成6等,对照上面的图相当于往上走一级
c[i]+=val;
}3.\(O(\log_{2}{n})\)查询
int getsum(int x)//求[1,x]的和
{
int ans=0;
for(int i=x;i;i-=lowbit(i))//比如求[1,6]的和，就相当于先加上[5,6](c[6]),再加上[1,4](c[4])
ans+=c[i];
return ans;
}求\([l,r]\)的和就相当于先求出\([1,r]\)的和再减去\([1,l-1]\)的和
是不是板子极其好背啊
再就是区间修改
利用差分
设差分数组为\(d[i]=a[i]-a[i-1] \quad d[1]=a[1]\)
则
\begin{split}
\sum_{i=1}^{x} a[i] & =\sum_{i=1}^{x} \sum_{j=1}^{i}d[j] \newline
& =\sum_{i=1}^{x}(x-i+1)* d[i] \newline
& =(x+1)* \sum_{i=1}^{x}d[i]-\sum_{i=1}^{x}i* d[i] \newline
\end{split}
所以我们只要维护两个树状数组c[i]为a[i]的前缀和，c2[i]为\(i*a[i]\)所产生的新数列的前缀和
代码只需在初始化时\(\text modify(i,a[i]-a[i-1])\),查询时再设一个\(\text ans2+=i*c2[i]\)并\(\text return (x+1)*ans-ans2\)
注意在修改\([l,r]\)时是在l修改+val,r+1是修改-val(因为这是一个差分数组）
两道模板题洛谷P3374 洛谷P3368
一般这种题都要开long long
贴两个代码
// 单修区查,P3374
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 500005
long long a[N],c[N];
int n,m,y,z,op;
int lowbit(int i)
{
return i&(-i);
}
void modify(int place,int value)
{
for(int i=place;i<=n;i+=lowbit(i))
c[i]+=value;
}
int getsum(int place)
{
int ans=0;
for(int i=place;i;i-=lowbit(i))
ans+=c[i];
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&op);//节省一个变量
modify(i,op);
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&op,&y,&z);
if(op==1)
modify(y,z);
else
printf("%d\n",getsum(z)-getsum(y-1));
}
return 0;
}// 区修单查(和上一道题结合就是区修区查),P3368
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 500005
long long a[N],c[N],c2[N];
int n,m,x,y,z,op;
int lowbit(int i)
{
return i&(-i);
}
void modify(int place,int value)
{
for(int i=place;i<=n;i+=lowbit(i))
c[i]+=value,c2[i]+=place*value;
}
int getsum(int place)
{
int ans1=0,ans2=0;
for(int i=place;i;i-=lowbit(i))
ans1+=c[i],ans2+=c2[i];
return (place+1)*ans1-ans2;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&a[i]);//也可设两个变量而不用数组，略麻烦一点
modify(i,a[i]-a[i-1]);
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&op);
if(op==1)
scanf("%d%d%d",&y,&z,&x),modify(y,x),modify(z+1,-x);
else
scanf("%d",&x),printf("%d\n",getsum(x)-getsum(x-1));
}
return 0;
}标签：25,树状,int,简介,sum,place,数组,lowbit 来源： https://www.cnblogs.com/123789456ye/p/11066743.html
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