标签：指南 alpha2 SVM old self 边距 超平面 循序渐进 向量
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介绍
支持向量机（SVM）是一种基于特征空间最大边距的分类器。SVM的学习策略是使边际最大，可以转化为凸二次规划问题。在学习SVM算法之前，我先介绍一些术语。
功能边距定义为：对于给定的训练集T和超平面(w,b)，超平面(w,b)和样本(xi, yi)之间的功能边距为：
超平面(w,b)和训练集T之间的功能边距是
的最小值
功能边距表示分类结果的置信水平。如果超参数(w,b) 按比例变化，例如，(w,b)变为(2w,2b)。虽然超平面没有改变，但功能边距消耗增加了一倍。因此，我们在w上应用一些禁令来定义超平面，例如规范化||w|| = 1。然后，边界称为几何边距：对于给定的训练集T和超平面(w,b)，超平面(w,b) 和样本(xi, yi)之间的功能边距为：
类似地，超平面(w,b) 和训练集T之间的几何边距是
的最小值
现在，我们可以得出功能边距与几何边距之间的关系：
SVM模型
SVM模型由优化问题，优化算法和分类组成。
优化问题
当数据集可线性分离时，支持向量是最接近超平面的样本，如下所示。
对样品H1和H2是之间的支持向量。在H1和H2之间的距离被称为硬边距。然后，SVM的优化问题是：
当数据集不是线性可分时，训练集中的一些样本不满足函数余量大于或等于1的条件。为了解决这个问题，我们为每个样本(xi, yi)添加一个松弛变量
。然后，约束是：
同时，为每个松弛变量添加成本。目标函数是：
其中C是惩罚系数。当C规模很大时，对错误分类的惩罚将会增加，然而对错误分类的惩罚将会减少。然后，SVM的优化问题是：
支撑向量位于边距的边界上或边界和超平面之间，如下所示。在这种情况下，边距为软边距。
当数据集不是线性可分的时，它需要应用内核技巧将数据从原始空间转换为特征空间。内核技巧的函数叫做内核函数，定义如下：
其中
是从输入空间到特征空间的映射，即
内核技巧的代码如下所示：
def kernelTransformation(self, data, sample, kernel):
sample_num, feature_dim = np.shape(data)
K = np.zeros([sample_num])
if kernel == "linear": # linear function
K = np.dot(data, sample.T)
elif kernel == "poly": # polynomial function
K = (np.dot(data, sample.T) + self.c) ** self.n
elif kernel == "sigmoid": # sigmoid function
K = np.tanh(self.g * np.dot(data, sample.T) + self.c)
elif kernel == "rbf": # Gaussian function
for i in range(sample_num):
delta = data[i, :] - sample
K[i] = np.dot(delta, delta.T)
K = np.exp(-self.g * K)
else:
raise NameError('Unrecognized kernel function')
return K
应用内核技巧后，SVM的优化问题是：
其中
是拉格朗日因子。
优化算法
用传统的凸二次规划算法求解SVM优化问题是可行的。但是，当训练集很大时，算法将花费很长时间。为了解决这个问题，Platt提出了一种称为顺序最小优化（SMO）的有效算法。
SMO是一种启发式算法。当所有变量都遵循KKT条件时，优化问题就解决了。否则，选择两个变量并修复其他变量，并用两个变量构造凸二次规划问题。问题有两个变量：一个选择违反KKT条件的alpha，另一个选择由约束决定。表示，
是变量，修复
。因此，
有如下方法计算：
如果
确定，则
相应地确定。在SMO的每次迭代中，更新两个变量直到问题解决。然后，SVM的优化问题是：
当只有两个变量时，它是一个简单的二次规划问题，如下所示：
因为约束是：
当
，
当
，因为
，
。
优化值
如下：
其中L和H是对角线的下限和上限，其计算公式为：
未切割的优化值
如下：
其中E 1和E 2是预测值g(x)和实际值之间的差值。g(x)定义为：
到目前为止，我们为
获得可行的解决办法：
SMO中有两个循环，即外循环和内循环。
在外部循环中，选择违反KKT条件的alpha，即
首先，按照
搜索样本。如果所有样本都遵循该条件，则搜索整个数据集。
在内部循环，先搜索
，这使得
最大。如果所选择的
值没有减少，请首先在边距边界上搜索样本。如果选择的
值减少，请停止搜索。否则，搜索整个数据集。如果我们在搜索整个数据集后找到可行的
，我们将选择一个新的
。
在每次迭代中，我们通过如下算式更新b：
为方便起见，我们必须存储
的值，其计算方法如下：
搜索和更新代码如下所示：
def innerLoop(self, i):
Ei = self.calculateErrors(i)
if self.checkKKT(i):
j, Ej = self.selectAplha2(i, Ei) # select alpha2 according to alpha1
# copy alpha1 and alpha2
old_alpha1 = self.alphas[i]
old_alpha2 = self.alphas[j]
# determine the range of alpha2 L and H in page of 126
# if y1 != y2 L = max(0, old_alpha2 - old_alpha1),
H = min(C, C + old_alpha2 - old_alpha1)
# if y1 == y2 L = max(0, old_alpha2 + old_alpha1 - C),
H = min(C, old_alpha2 + old_alpha1)
if self.train_label[i] != self.train_label[j]:
L = max(0, old_alpha2 - old_alpha1)
H = min(self.C, self.C + old_alpha2 - old_alpha1)
else:
L = max(0, old_alpha2 + old_alpha1 - self.C)
H = min(self.C, old_alpha2 + old_alpha2)
if L == H:
# print("L == H")
return 0
# calculate eta in page of 127 Eq.(7.107)
# eta = K11 + K22 - 2K12
K11 = self.K[i, i]
K12 = self.K[i, j]
K21 = self.K[j, i]
K22 = self.K[j, j]
eta = K11 + K22 - 2 * K12
if eta <= 0:
# print("eta <= 0")
return 0
# update alpha2 and its error in page of 127 Eq.(7.106) and Eq.(7.108)
self.alphas[j] = old_alpha2 + self.train_label[j]*(Ei - Ej)/eta
self.alphas[j] = self.updateAlpha2(self.alphas[j], L, H)
new_alphas2 = self.alphas[j]
self.upadateError(j)
# update the alpha1 and its error in page of 127 Eq.(7.109)
# new_alpha1 = old_alpha1 + y1y2(old_alpha2 - new_alpha2)
new_alphas1 = old_alpha1 + self.train_label[i] *
self.train_label[j] * (old_alpha2 - new_alphas2)
self.alphas[i] = new_alphas1
self.upadateError(i)
# determine b in page of 130 Eq.(7.115) and Eq.(7.116)
# new_b1 = -E1 - y1K11(new_alpha1 - old_alpha1) -
y2K21(new_alpha2 - old_alpha2) + old_b
# new_b2 = -E2 - y1K12(new_alpha1 - old_alpha1) -
y2K22(new_alpha2 - old_alpha2) + old_b
b1 = - Ei - self.train_label[i] * K11 * (old_alpha1 - self.alphas[i]) -
self.train_label[j] * K21 * (old_alpha2 - self.alphas[j]) + self.b
b2 = - Ej - self.train_label[i] * K12 * (old_alpha1 - self.alphas[i]) -
self.train_label[j] * K22 * (old_alpha2 - self.alphas[j]) + self.b
if (self.alphas[i] > 0) and (self.alphas[i] < self.C):
self.b = b1
elif (self.alphas[j] > 0) and (self.alphas[j] < self.C):
self.b = b2
else:
self.b = (b1 + b2)/2.0
return 1
else:
return 0
分类
我们可以使用优化的参数进行预测，该参数由下式给出：
for i in range(test_num):
kernel_data = self.kernelTransformation(support_vectors, test_data[i, :], self.kernel)
probability[i] = np.dot(kernel_data.T, np.multiply
(support_vectors_label, support_vectors_alphas)) + self.b
if probability[i] > 0:
prediction[i] = 1
else:
prediction[i] = -1
结论与分析
SVM是一种比以前的算法更复杂的算法。在本文中，我们简化了搜索过程，使其更容易理解。最后，让我们将我们的SVM与Sklearn中的SVM进行比较，检测性能如下所示：
检测性能比sklearn更差，这是因为我们的SVM中的SMO比sklearn更简单。
可以在MachineLearning中找到本文中的相关代码和数据集。
原文地址：https://www.codeproject.com/Articles/4064358/Step-by-Step-Guide-to-Implement-Machine-Learning-V
标签：指南,alpha2,SVM,old,self,边距,超平面,循序渐进,向量 来源： https://blog.csdn.net/mzl87/article/details/90483538
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