标签：tau mathbf DOA 宽带 信号 amp theta fj ej2

在宽带阵列信号处理中，阵列接收到的信号包络不再恒定，相位延迟和时延不再是简单的线性关系。

宽带时域模型

$M$M个阵元组成的阵列，接收空间中$P$P个宽带信号，入射角度分别为$\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_P$θ1​,θ2​,⋯,θP​，则第$k$k个阵元接收到的信号可表示为$x_k(t)=\sum_{i=1}^P s_i[t+\tau_k(\theta_i)]+n_k(t)$xk​(t)=i=1∑P​si​[t+τk​(θi​)]+nk​(t)

宽带频域模型

傅里叶变换的时延定理：信号时延后的傅里叶变换等于信号傅里叶变换的相位延迟
如果$s(t)$s(t) 的傅里叶变换为$s(f)$s(f)，即
$FT[s(t)]=s(f)$FT[s(t)]=s(f)
那么 $FT[s(t+\tau)]=s(f)e^{j2\pi\tau}$FT[s(t+τ)]=s(f)ej2πτ

把第k个阵元接收到的信号，两边做傅里叶变换得到
$x_k(f)=\sum_{i=1}^P {s_i(f)}e^{j2\pi f\tau_k(\theta_i)}+n_k(f)$xk​(f)=i=1∑P​si​(f)ej2πfτk​(θi​)+nk​(f)
写成矩阵形式
$\mathbf{X}_f=\mathbf{A}(f,\theta)\mathbf{S}(f)+\mathbf{N}(f)$Xf​=A(f,θ)S(f)+N(f)

其中方向矩阵为
$\mathbf{A}(f,\mathbf{\theta})= \left[ \begin{matrix} e^{j2\pi f\tau_1(\theta_1)} & e^{j2\pi f\tau_1(\theta_2)} &\cdots &e^{j2\pi f\tau_1(\theta_P)} \\e^{j2\pi f\tau_2(\theta_1)} & e^{j2\pi f\tau_2(\theta_2)} &\cdots &e^{j2\pi f\tau_2(\theta_P)} \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\e^{j2\pi f\tau_M(\theta_1)} & e^{j2\pi f\tau_M(\theta_2)} &\cdots &e^{j2\pi f\tau_M(\theta_P)} \end{matrix} \right]$A(f,θ)=⎣⎢⎢⎢⎡​ej2πfτ1​(θ1​)ej2πfτ2​(θ1​)⋮ej2πfτM​(θ1​)​ej2πfτ1​(θ2​)ej2πfτ2​(θ2​)⋮ej2πfτM​(θ2​)​⋯⋯⋱⋯​ej2πfτ1​(θP​)ej2πfτ2​(θP​)⋮ej2πfτM​(θP​)​⎦⎥⎥⎥⎤​

与窄带信号的方向矩阵不同的是，窄带模型中的频率为固定的单值，这里的频率为信号的整个频带。

当对数字信号进行$J$J点离散傅里叶变换时，频率点也为$J$J个离散点，那么
$\mathbf{X}{(f_j)}=\mathbf{A}{(f_j,\mathbf{\theta})} \mathbf{S}{(f_j)}+\mathbf{N}{(f_j)}(j=0,1,\cdots,J)$X(fj​)=A(fj​,θ)S(fj​)+N(fj​)(j=0,1,⋯,J)
其中，方向矩阵为
$\begin{aligned} \mathbf{A}(f_j,\mathbf{\theta})&= \left[ \begin{matrix} e^{j2\pi f_j\tau_1(\theta_1)} & e^{j2\pi f_j\tau_1(\theta_2)} &\cdots &e^{j2\pi f_j\tau_1(\theta_P)} \\e^{j2\pi f_j\tau_2(\theta_1)} & e^{j2\pi f_j\tau_2(\theta_2)} &\cdots &e^{j2\pi f_j\tau_2(\theta_P)} \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\e^{j2\pi f_j\tau_M(\theta_1)} & e^{j2\pi f_j\tau_M(\theta_2)} &\cdots &e^{j2\pi f_j\tau_M(\theta_P)} \end{matrix} \right]\\ &=[\mathbf{a}(\theta_1,f_j)\qquad \mathbf{a}(\theta_2,f_j)\qquad \cdots \qquad \mathbf{a}(\theta_P,f_j)](j=0,1,2,\cdots,J) \end{aligned}$A(fj​,θ)​=⎣⎢⎢⎢⎡​ej2πfj​τ1​(θ1​)ej2πfj​τ2​(θ1​)⋮ej2πfj​τM​(θ1​)​ej2πfj​τ1​(θ2​)ej2πfj​τ2​(θ2​)⋮ej2πfj​τM​(θ2​)​⋯⋯⋱⋯​ej2πfj​τ1​(θP​)ej2πfj​τ2​(θP​)⋮ej2πfj​τM​(θP​)​⎦⎥⎥⎥⎤​=[a(θ1​,fj​)a(θ2​,fj​)⋯a(θP​,fj​)](j=0,1,2,⋯,J)​

如果再将观察时间$T_0$T0​内的阵列接收数据分为$L$L个子段，每段时间为$T_d$Td​，然后对观察数据进行$J$J点离散傅里叶变换，只要子段$T_d$Td​ 相比噪声的相关时间较长（保证DFT后的数据不相关），宽带模型就变为
$\mathbf{X}_l(f_j)=\mathbf{A}(f_j,\theta)\mathbf{S}_l(f_j)+\mathbf{N}_l(f_j)$Xl​(fj​)=A(fj​,θ)Sl​(fj​)+Nl​(fj​)

其中，$J$J是指将带宽$B$B的宽带信号划分为$J$J个子带的个数，对于子带对应的不同频率点$f_1,f_2,\cdots,f_J$f1​,f2​,⋯,fJ​，均成立。

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来源： https://blog.csdn.net/weixin_38452468/article/details/89214253

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