约瑟夫环-递归分析数学解法(很详细)-C语言系列

2019-03-24 14:50:31 阅读：394 来源： 互联网

SITUATION-约瑟夫环问题描述

已知n个人围成一圈（编号：1，2，3，…，n），从编号为1的人开始报数，报数为m的那个人出列；从他的下一个人又从1开始数，同样报数为m的人出列；依此循环下去，直到剩余一个人。求最后这一个人在最开始的序列中编号是几号？

ACTION-递归求解法

将这n个人从0~n-1编号（1是习惯从0开始；2是如果m大于等于n时，第一个出列的人编号是m%n，m%n可能等于0，简化后续序列的模式化处理），则报数为m-1的人出列，最后结果加1就为原问题的解，以下，我们来分析出列的过程：

第一次出列-n阶约瑟夫环的问题（n个人）
0，1，2，3，4，5，…，n-2，n-1
第一次出列的人的编号为**(m-1)%n1**（记n1为第一次编号的总人数），从他的下一个人又开始从0开始报数，为了方便我们记k1=m%n1，如下：
0，1，2，3，4，5，…，k1-1(第一次出列人的编号(m-1)%n1)，k1，k1+1，…，n-2，n-1

由于第二次出列是是从k1开始，又从0开始报数，为了便于模式化我们将第一次出列后的序列排序如下：
k1，k1+1，k1+2，…，n-2，n-1，0，1，2，3，4，5，…，k1-3，k1-2（k1-1第一次已经出列）
第二次出列-n-1阶约瑟夫环问题（n-1个人）
对上述序列重新编号：
0，1，2，3，4，5，…，n-2
第二次出列的人的编号为**(m-1)%n2**（记n2为第一次编号的总人数），从他的下一个人又开始从0开始报数，为了方便我们记k2=m%n2，如下：
0，1，2，3，4，5，…，k2-1(第二次出列人的编号(m-1)%n2)，k2，k2+1，…，n-2
同样重新排序如下：
k2，k2+1，k2+2，…，n-2，n-1，0，1，2，3，4，5，…，k2-3，k2-2（k2-1第二次已经出列）
第三次出列-n-2阶约瑟夫环问题（n-2个人）
对上述序列重新编号：
0，1，2，3，4，5，…，n-3
…
第N-1次出列-2阶约瑟夫环问题（2个人）
k(n-1)，k(n-1)+1
重新编号：
0，1
第n-1次出列的人的编号为：m%n(n-1)，记下一个人的为k(n-1)=m%n2
k(n-1)
第N次出列-1阶约瑟夫环问题（1个人）
对上述序列重新编号：
0
直接得出结果为0。

RESULT-结论总结

以上我们将问题转换为模式相同且规模逐渐缩小的问题，当规模最小即只有一个人n=1时，报数为m-1的人出列，最后出列的人编号为0；当n=2时，报数为m-1的人出列，最后出列人的编号是多少？应该是只有一个人时得到最后出列的序号加上m（因为报数为m-1的人已经出列，剩下那个人才最后出列所以才加上m）
n=1时，f(1)=0；
n=2时，f(2)=[f(1)+m]%2；
n=2时，f(3)=[f(2)+m]%3；
验证结果：2个人围成一圈，数到3的那人出列，求最后那个人的编号？n=2，m=3
f(2)=[f(1)+m]%2=[0+3]%2=1
最后结果加1，则result=2；

递归解法

f(1)=0；//递归出口
f(n)=[f(n-1)+m]%n；//递归体`

#include<stdio.h>
int josephus(int n,int m);
int main(){
 int n,m;
 scanf("%d %d",&n,&m);
 int ret=josephus(n,m);
 printf("%d",ret+1);
 return 0;
} 
int josephus(int n,int m){
 if(n==1)
  return 0;
 else 
  return (josephus(n-1,m)+m)%n;
}

数学解法

由于递归的空间复杂度不太友好，进行数学归纳，数学解法如下：

#include<stdio.h>
int main(){
 int n,m=3;
 scanf("%d",&n);
 int ans=0,i=0;
 for(i=1;i<=n;i++){
  ans=(ans+m)%i;
 }
 printf("%d",ans+1);
 return 0;
}

标签：递归,int,C语言,k2,k1,编号,出列,报数,解法
来源： https://blog.csdn.net/AngongYY/article/details/88768834