标签：frac int text 不定积分 sqrt 初步 ln dx 元法

双元法本质上是寻得一个或一组平方式. 其实只有两种情况: 要么 \(p^2+q^2=1\), 要么 \(p^2=q^2+1\).

\(1.\quad\)

\[\int \sqrt{1+x^2}\text dx \]

利用

\[\int y\text dx=\frac12\int (y\text dx+x\text dy)+\frac12(y\text dx-x\text dy) \]

就可以了.

\(2.\quad\)

\[\int\sqrt{\frac{x}{2+x^3}}\text dx \]

构造双元

\[p=\sqrt{2+x^3},q=x^{\frac32} \]

注意这种设法.

\(3.\quad\)

\[\int \frac{\ln(x+\sqrt{1+x^2})}{x^2}\text dx \]

令 \(y=\sqrt{1+x^2}\)

\[\begin{aligned} \int \frac{\ln(x+\sqrt{1+x^2})}{x^2}\text dx&=-\frac{\ln(x+y)}{x}+\int\frac1x\cdot\frac{\text d(x+y)}{x+y}\\ &=-\frac{\ln(x+y)}{x}+\int\frac{\text dy}{x^2}\\ &=-\frac{\ln(x+y)}{x}-\text{arctanh}(y) \end{aligned} \]

\(4.\quad\)

标签：frac,int,text,不定积分,sqrt,初步,ln,dx,元法
来源： https://www.cnblogs.com/Arcticus/p/16676024.html

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