ICode9

精准搜索请尝试: 精确搜索
首页 > 其他分享> 文章详细

二分图

2022-09-03 12:04:49  阅读:163  来源: 互联网

标签:二分 匹配 覆盖 int dfs edge


二分图,顾名思义,能分成两部分,每部分之间没有边的图。判定很简单,染色法,没有奇环就行。

void dfs(int x,int col){
	v[x]=col;
	for(int i=head[x];i;i=edge[i].next){
		if(!v[edge[i].v])dfs(edge[i].v,3-col);
		else if(v[edge[i].v]==v[x]){
			jud=false;return;
		}
	}
}
dfs(i,1);

然后是最重要的:二分图最大匹配。我们采用匈牙利算法。

首先定义增广路:非匹配边与匹配边交替出现的路。最大匹配中不存在增广路。

于是匈牙利算法就按照判增广路的流程解决问题。

bool dfs(int x){
	for(int i=head[x];i;i=edge[i].next){
		int to=edge[i].v;
		if(!v[edge[i].v]){
			v[edge[i].v]=true;
			if(!match[edge[i].v]||dfs(match[edge[i].v])){
				match[edge[i].v]=x;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
	memset(v,false,sizeof(v));
	if(dfs(i))ans++;
}

注意算法流程中二分图建的是单向边。

二分图带权匹配:两种解法,KM算法(只适用于完备匹配)和费用流。(待补)

二分图最小点覆盖:最小的点集使得任意一条边都有一个端点在选的点内。

二分图最小点覆盖点数等于二分图最大匹配边数。

二分图最大独立集:最大的点集使任意两点没有边连。

二分图最大独立集大小等于n-最大匹配数,n为节点数。

DAG图的最小点覆盖:

  1. 建立邻接矩阵。
  2. 如果路径可重就跑一边floyd传递闭包,不可重就不跑。
  3. 建立拆点二分图。具体的,把原图的x拆成x和x+n两个点。对于原图边(x,y),在二分图(x,y+n)连边。
  4. 跑最大独立集。

然后是二分图的模型建立。(以下参考蓝书)

二分图匹配的模型有两个要素:

  1. 0要素: 节点能分成独立的两个集合;
  2. 1要素:每个节点只能和一条匹配边相连。

举个例子:给个棋盘,n * m,放2 * 1的多米诺骨牌,求最多放多少块。

则其中:对角的格子不能被同一块覆盖,每个格子只能覆盖一个。

所以我们把每个格子向相邻的格子建边跑最大匹配就行了。

然后是二分图最小点覆盖:

2要素:每条边有2个端点,每次至少选一个。

举个例子:n * m的棋盘,用宽度为1,长度任意的木板覆盖一些标记点,不能覆盖未标记点。求最少多少块。

显然,每点要么被纵向的覆盖要么被横向的覆盖。所以直接每个点的行连到列跑最小点覆盖就行。

标签:二分,匹配,覆盖,int,dfs,edge
来源: https://www.cnblogs.com/gtm1514/p/16652295.html

本站声明: 1. iCode9 技术分享网(下文简称本站)提供的所有内容,仅供技术学习、探讨和分享;
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关;
3. 关于本站的所有言论和文字,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关;
4. 本站文章均是网友提供,不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属;如您发现该文章侵犯了您的权益,可联系我们第一时间进行删除;
5. 本站为非盈利性的个人网站,所有内容不会用来进行牟利,也不会利用任何形式的广告来间接获益,纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。

专注分享技术,共同学习,共同进步。侵权联系[81616952@qq.com]

Copyright (C)ICode9.com, All Rights Reserved.

ICode9版权所有