ICode9

精准搜索请尝试: 精确搜索
首页 > 其他分享> 文章详细

巴塞尔问题与划分数的上界估计

2022-08-31 19:01:44  阅读:193  来源: 互联网

标签:le ln cdot over 上界 巴塞尔 划分 pi sum


生病无聊看了下数学科普,感觉这个方法挺有意思的,就记录一下,算是理性愉悦。

首先是巴塞尔问题:众所周知所有自然数倒数和发散,那倒数平方和是否收敛?即求:

\[\sum_{k>0} {1\over k^2} \]

又是众所周知有一个巧妙的做法是考虑 \(\sin x\) 的泰勒展开:

\[\sin x = \sum_{0\le k} (-1)^k {x^{2k+1}\over (2k+1)!}=x-{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!}-···=x(1-{x^2\over 3!}+{x^4\over 5!}-···) \]

显然是一个无穷次的多项式,我们考虑对它因式分解,\(\sin x = 0\) 的解集合为 \(\{k\pi | k\in \Z\}\),考虑其泰勒展开零次项为 0,我们得到:

\[\sin x = x(1+{x\over \pi})(1-{x\over \pi})(1+{x\over 2\pi})(1-{x\over 2\pi})· ·\space·=x(1-{x^2\over \pi^2})(1-{x^2\over 2\pi^2})··\space· \]

观察这个因式分解展开后 \(x^2\) 的系数,就是 \({1\over \pi^2}+{1\over 2^2\pi^2}+{1\over 3^2\pi^2}+···\),与泰勒展开中 \(x^2\) 的系数划等号:

\[{1\over \pi^2}\sum_{k>0} {1\over k^2}={1\over 3!} \]

\[\sum_{k>0} {1\over k^2}={\pi^2\over 6} \]

然后就是重点:划分数的上界估计了。设 \(P_n\) 把 \(n\) 拆分称若干个自然数之和的方案数,根据直觉它的增长应该是指数级的。考虑它的生成函数,显然有:

\[P_n=[x^n]\prod_{k>0}\sum_{i=0}^{\infty}x^{ik}=[x^n]\prod_{k>0} {1\over 1-x^k} \]

对于乘积我们常取对数处理,但这里还是有点逆天,我们考虑一般不会考虑的生成函数的值,对于 \(0<x<1\), 设生成函数为 \(P(x)\),显然有 \(P_n x^n\le P(x)\)

所以:

\[P_n x^n \le \prod_{k>0} {1\over 1-x^k} \]

这时再考虑两边取对数

\[\ln P_n + \ln x^n \le \sum_{k>0} \ln {1\over 1-x^k} \]

依旧泰勒展开,我们有:

\[\ln {1\over 1-t}=\sum_{k>0} {t^k \over k} \]

所以:

\[\ln P_n + \ln x^n \le \sum_{k>0} \sum_{i>0} {x^{ik}\over i} \]

先考虑右边两坨\(\Sigma\),交换求和顺序:

\[\sum_{k>0} \sum_{i>0} {x^{ik}\over i}=\sum_{i>0}{1\over i} \sum_{k>0} x^{ik}=\sum_{i>0}{1\over i} \cdot {x^i \over 1-x^i} \]

考虑放缩一下,\(1-x^i = (1-x)(1+x+x^2+···+x^{i-1}) \ge i(1-x)x^{i-1}\) (考虑这里生成函数的前提条件 \(0<x<1\)),综合之前的巴塞尔问题,我们得到

\[\ln P_n + \ln x^n \le \sum_{i>0}{1\over i} \cdot {x^i \over 1-x^i} \le \sum_{i>0} {1\over i} \cdot {x^i \over i(1-x)x^{i-1}}={x\over 1-x} \sum_{i>0} {1\over i^2} ={\pi^2 \over 6} \cdot {x\over 1-x} \]

稍微移下项,得到 \(\ln P_n \le \ln {x^{-n}} + {\pi^2 \over 6} \cdot {x\over 1-x}\),设 \(t={x\over 1-x},x={t\over 1+t}\)然后喜闻乐见的放缩:

\[\ln x^{-n}=n\ln x^{-1}=n\ln {t+1\over t}=n\ln (1+{1\over t})\le {n\over t} \]

于是我们有 \(\ln P_n \le {\pi^2 t \over 6} + {n\over t}\) ,这里 \(t>0\),这里变成了高中最值问题,当 \(t={\sqrt{6n}\over \pi}\)时,右边有最小值 \(\sqrt{6n}\pi \over 3\),再做exp,即可得到最终结果:

\[P_n \le e^{\sqrt{6n}\pi \over 3} \]

标签:le,ln,cdot,over,上界,巴塞尔,划分,pi,sum
来源: https://www.cnblogs.com/wwlwakioi/p/16644223.html

本站声明: 1. iCode9 技术分享网(下文简称本站)提供的所有内容,仅供技术学习、探讨和分享;
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关;
3. 关于本站的所有言论和文字,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关;
4. 本站文章均是网友提供,不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属;如您发现该文章侵犯了您的权益,可联系我们第一时间进行删除;
5. 本站为非盈利性的个人网站,所有内容不会用来进行牟利,也不会利用任何形式的广告来间接获益,纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。

专注分享技术,共同学习,共同进步。侵权联系[81616952@qq.com]

Copyright (C)ICode9.com, All Rights Reserved.

ICode9版权所有