标签：容器 Easy 可以 texttt IOI2022 答案 mathcal

鲶鱼塘 \((\texttt{Easy} \ 0 / 3)\)

设第 \(i\) 列的高度为 \(h_i\)，若 \(h_{i - 1} > h_i < h_{i + 1}\)，则可以直接令 \(h_i = 0\)。

于是可以设 \(f_{i, j}\) 表示 \(h_{i - 1} \le j = h_i\) 的答案；\(g_{i, j}\) 表示 \(h_{i - 1} > j = h_i\) 的答案，则根据上面的性质可以方便地转移。

注意到一个状态 \((x, y)\) 有效当且仅当 \(y = m - 1\) 或 \((x, y + 1)\) 有鲶鱼，于是可以把状态数缩到 \(\mathcal{O}(n + m)\)，时间复杂度 \(\mathcal{O}((n + m) \log m)\)。

囚徒挑战 \((\texttt{Easy} \ 3 / 5)\)

先考虑一个做法：从高到低查询 \(n\) 的二进制位，这样可以得到一个 \(m = \mathcal{O}(\log n)\) 的做法。

发现可以对于每一位采用不同的进制，搜索最优解可以做到 \(m = 24\)。

发现如果当前的数是可能范围的最大值 / 最小值的话就已经能确定答案了，所以可以在原来的基础上每轮把范围多 \(-2\)，搜索最优解可以做到 \(m = 20\)。

非常难写。学了一下最短解的做法，非常厉害。

无线电信号塔 \((\texttt{Medium} \ 4 / 4)\)

明天写。

数字电路 \((\texttt{Easy} \ 2 / 1)\)

先考虑如果钦定了每个点的颜色，如何求出方案数。如果 \(u\) 有 \(k\) 个儿子是 \(1\) 并且 \(u\) 也是 \(1\)，那么 \(p_u\) 有 \(k\) 种选择；否则有 \(c_u - k\) 种选择。这相当于对于每个点 \(u\) 选择一个与之颜色相同的儿子的方案数，即链剖分的方案数，要保证 \(1\) 是黑色当且仅当其所在的链对应的叶子是黑色。

所以我们可以枚举 \(1\) 所在的链的叶子，那么其他的点随意选儿子均可对应一种方案。所以叶子之间对答案的贡献是独立的，可以用线段树维护。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n \log n)\)。

最罕见的昆虫 \((\texttt{Medium} \ 4 / 3)\)

考虑一个做法：我们依次加入每一个数，如果查询的结果 \(> 1\) 即弹出这个数，那么我们可以得到所有颜色各一个，即可以得到颜色种类数。我们删去这些位置之后再进行一遍上面的过程，如果颜色数量减少就说明答案为 \(1\)；反之可以一直进行。

考虑扩展一下，首先得到颜色数量 \(t\)，保持众数出现次数 \(\le x\)，那么答案 \(\ge x\) 当且仅当最后容器中一共有 \(tx\) 个数，于是可以二分答案。

考虑卡常。如果发现答案 \(\ge x\)，那么我们可以把当前容器内的数锁在容器里，在以后的操作中不把它们挪出容器；反之，我们可以把当前容器外的数锁在容器外，在以后的操作中不把它们挪进容器，易于证明这样做的正确性。再把二分上界改为 \(\left\lfloor \frac{n}{t} \right\rfloor\) 即可通过。

千岛 \((\texttt{Easy} \ 3 / ?)\)

胡了一个做法，大概是如果起点的出度 \(> 1\) 则必然存在解，否则可以递归求解；构造是找环之类的，要分类讨论。看了下其他题解，好像挺对的，有时间把代码补了。

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来源： https://www.cnblogs.com/Scintilla/p/16637705.html

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