标签：return string int 题解 P1415 length num dp
前言
这题是一道挺好的 \(\texttt{dp}\) 题啊，但大家的题解都写得不够详细。
所以，我来补一篇 \(\LaTeX\) 题解，希望能帮助大家。
思路
首先是读入，为了方便，我让字符串下标从 \(1\) 开始。
string a;
int n; //字符串长度。
void Input()
{
cin >> a;
//个人习惯将起点下标变为 1 来算。
n = a.length();
a = '@' + a;
}
为了方便，我们后面用 \(num(x, y)\) 表示下标为 \([x, y]\) 所构成的数。
容易想到，题目就是要我们求出：任意一个位置的最大结束下标。
考虑到，算这个之前，我们还得先算一算：任意一个位置的最小开始下标。
具体地，设 \(f_i\) 表示将前 \(i\) 位拆成递增数，最后一个数最小为 \(num(f_i, i)\)。
想要最小，则 \(f_i\) 要尽可能大。
我们可以画一个图，方便推状态转移方程。
所以，状态转移方程如下。
\[f_i = \max\limits_{j=1}^{i}\begin{cases}j & num(f_{j-1}, j-1) < num(j, i)\\1 & j = 1\end{cases} \]这里，我们发现一个问题：如何比较两个数的大小？
题解里的解决办法，代码稍长，提供一种简单的比较方式。
- 分离出 \(num(x, y)\)，注意要去除前导 \(0\)。
- 比较两个数（注意两个数实际上使用
string存储的）：- 如果长度不等，则长度小的数小。
- 如果长度相等，直接按字典序比较即可。
这样代码会短很多。
string num(int x, int y)
//将 a[i]~a[j] 的数分割出来，去除前导 0。
{
string s = a.substr(x, y-x+1);
while (s.length() > 1 && s[0] == '0') s.erase(0, 1);
return s;
}
bool Less(string x, string y)
//比较 x 与 y 两个数，注意不是比较字典序。
//当且仅当 x < y 返回 true。
{
if (x.length() != y.length()) return x.length() < y.length();
return x < y; //长度相等，则字典序比较等同于数的比较。
}
bool cmp(int x1, int y1, int x2, int y2)
//等同于：比较 num(x1, y1) 与 num(x2, y2) 的大小。
{
string t1 = num(x1, y1), t2 = num(x2, y2);
return Less(t1, t2);
}
有了这个 cmp() 函数，我们就可以很方便地完成第一次动规。
int f[N];
void DP1()
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = i; j >= 2; j--) //从后往前枚举，第一次枚举到的 j 一定是最大的。
if (cmp(f[j-1], j-1, j, i))
{
f[i] = j;
break;
}
if (f[i] == 0) f[i] = 1; //如果没有符合的，则从头开始算一个。
}
}
接下来，就是处理『最小开始下标』了。
设 \(dp_i\) 表示将 \([i, n]\) 这一段拆成递增数，第一个数最大为 \(num(i, f_i)\)。
我们再画一张图。
所以，状态转移方程如下。
\[dp_i = \max\limits_{j = i}^{f_n - 1}\begin{cases}j & num(i, j) < num(j+1, dp_{j+1})\end{cases} \]并且有 \(dp_{f[n]} = n\)。
但是，这里并没有那么简单！
如果你直接就这样打了，可能只会获得 \(\texttt{90pts}\)。
错误原因是后面的 \(0\) 造成的。
举例来说，有一个数 \(\texttt{1234050}\)。
如果单纯这样做，结果为 \(\texttt{1,2,3,40,50}\)。
发现 \(f_7 = 6\)，所以初始化 \(dp_6 = 7\)。
但是，第 \(5\) 位是 \(\texttt{0}\)，根据样例，\(\texttt{050}\) 也是符合的，并且末尾元素仍然最小！
显然，保持最优解的情况下，位数多一点更好。
所以，我们应该也让 \(dp_5 = 7\)。
这样，结果为 \(\texttt{12,34,050}\)。
代码比较好打，只需要注意此处的判断即可。
int dp[N];
void DP2()
{
dp[f[n]] = n;
//关键步骤，增添最后一个数的前导 0。
int pos = f[n];
for (pos = f[n]; pos-1 && a[pos-1] == '0'; pos--) dp[pos-1] = n;
for (int i = pos-1; i; i--) //剩下的就和 DP1() 基本相等。
for (int j = f[n] - 1; j >= i; j--)
if (cmp(i, j, j+1, dp[j+1]))
{
dp[i] = j;
break;
}
}
大功告成，最后输出比较容易了。
void Output()
{
string ans = ""; //本质就是输出了，只不过要处理末尾逗号罢了。
for (int i = 1; i <= n; i = dp[i] + 1)
{
for (int j = i; j <= dp[i]; j++) ans += a[j];
ans += ',';
}
ans.erase(ans.length()-1, 1); //擦除最后一位逗号。
cout << ans;
}
代码
其实上面就是代码了，组合在一起即可。
但还是给出完整代码。具体注释参照上面。
这份完整代码保留的注释是调试语句，大家可以看一下。
码量不大。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define N 505
using namespace std;
string a;
int n;
void Input()
{
cin >> a;
n = a.length();
a = '@' + a;
}
string num(int x, int y)
{
string s = a.substr(x, y-x+1);
while (s.length() > 1 && s[0] == '0') s.erase(0, 1);
return s;
}
bool Less(string x, string y)
{
if (x.length() != y.length()) return x.length() < y.length();
return x < y;
}
bool cmp(int x1, int y1, int x2, int y2)
{
string t1 = num(x1, y1), t2 = num(x2, y2);
return Less(t1, t2);
}
int f[N];
void DP1()
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = i; j >= 2; j--)
if (cmp(f[j-1], j-1, j, i))
{
f[i] = j;
break;
}
if (f[i] == 0) f[i] = 1;
//printf("dp[%d] = %d.\n", i, dp1[i]);
}
/*
for (int i = 1; i <= n; i++) printf("f[%d] = %d.\n", i, f[i]);
printf("\n"); */
}
int dp[N];
void DP2()
{
dp[f[n]] = n;
int pos = f[n];
for (pos = f[n]; pos-1 && a[pos-1] == '0'; pos--) dp[pos-1] = n;
//printf("pos = %d.\n", pos);
for (int i = pos-1; i; i--)
for (int j = f[n] - 1; j >= i; j--)
if (cmp(i, j, j+1, dp[j+1]))
{
dp[i] = j;
//printf("dp[%d] = %d.\n", i, dp2[i]);
break;
}
//for (int i = 1; i <= n; i++) printf("dp[%d] = %d.\n", i, dp[i]);
}
void Output()
{
string ans = "";
for (int i = 1; i <= n; i = dp[i] + 1)
{
for (int j = i; j <= dp[i]; j++) ans += a[j];
ans += ',';
}
ans.erase(ans.length()-1, 1);
cout << ans;
}
int main()
{
Input();
DP1();
DP2();
Output();
return 0;
}
尾声
建议大家好好复盘一下状态转移方程。
顺便给出时间复杂度：
cmp()函数的时间复杂度大约是 \(O(n)\)，实际运行时可以理解为常数。- 两次 \(\texttt{DP}\) 的时间复杂度都是 \(O(n^2 \times n = n^3)\)，实际运行接近 \(O(n^2)\)。
码字不易，感谢大家观看，希望能帮助到大家！
首发：2022-06-20 18:12:59
标签：return,string,int,题解,P1415,length,num,dp 来源： https://www.cnblogs.com/liangbowen/p/16622887.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。