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数论笔记（1）

2022-08-25 11:32:35 阅读：157 来源： 互联网

标签：phi frac gcd 数论笔记 times 互质 mod

1、模运算的性质：

加法：

\[(A+B)\,mod\,C=(A\,mod\,C+B\,mod\,C)\,mod\,C \]

乘法：

\[(A \times B)\,mod\,C=[(A\,mod\,C)\times (B\,mod\,C)]\,mod\,C \]

减法：

\[(A - B)\,mod\,C = [(A\,mod\,C)-(B\,mod\,C)+C]\,mod\,C \]

2、快速幂：

因为$a^b$可以看做成$a^{b_{(2)}}$（其中的$x_{(2)}$表示某数的二进制形式）
所以$a^b$可以表达成$a^{2^i}$，证明如下：

\[\because a^{b+c} = a^ba^c \]

\[\because b=\sum_{i}^{len(b)}2^i \]

\[\therefore a^{\sum_{i}^{len(b)}2^i}=\prod_i^{len(b)}a^{2^i} \]

根据此性质加以位运算可以快速得出幂的大小。

long long fastfac(long long a,long long b){
	long long ans = 1;
	while(b>0){
		if(b&1)
			ans = ans * a;
		b >>= 1;
		a = a * a;
	}
	return ans;
}

3、欧拉函数φ：

作用：求得小于n的正整数中与n互质的数的数目;
公式：

\[\phi(N)=N\times \prod_{p|N} \frac{p-1}{p} \]

证明：

\[\because n=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times p_3^{a_3}\times ... \times p_k^{a_k} \]

\[\therefore\phi(n)=\phi(p_1^{a1})\times\phi(p_2^{a2})\times\phi(p_3^{a3})\times...\times\phi(p_m^{am})\{n∈N,p|p\} \]

\[\because \phi(p^k)=p^{k-1}(p-1) \]

\[\therefore\phi(p^k)=p^k(1-\frac{1}{p}) \]

\[\therefore\phi(n)=p_1^{a1}(1-\frac{1}{p_1})\times p_2^{a2}(1-\frac{1}{p_2})\times p_3^{a3}(1-\frac{1}{p_3})\times ... \times p_k^{ak}(1-\frac{1}{p_k}) \]

整理算式，可知：

\[\phi(n)=\prod_{p|n}p^{a}\prod_{p|n}(1-\frac{1}{p}) \]

\[\because n = \prod_{p|n}p^{a} \]

\[\therefore \phi(n)=n*\prod_{p|n}(1-\frac{1}{p}) \]

性质：
1. 当$p$为质数时，$\phi(p)=p-1$
2. 当$p$为质数时，$\phi(p^k)=p^{k-1}(p-1)=p^{k}(1-\frac{1}{p})=p^k(\frac{p-1}{p})$
3. 当$m$、$n$互质时，$\phi$为积性函数，即$\phi(mn)=\phi(m)\times\phi(n)$
4. 设$p$为质数，若$p|n$且$p^2|n$,则有$\phi(n)=\phi(\frac{n}{p})\times p$
5. 设$p$为质数，若$p|n$且$p^2$不是$n$因子，则有$\phi(n)=\phi(\frac{n}{p})\times(p-1)$
6. $\forall n\in N,n\,=\,\sum_{d|n}\phi(d)$
7. $\forall n > 1,1\sim n$中与n互质的数的和为$\frac{n\times \phi(n)}{2}$
实现：一般用欧拉筛来实现φ

int phi(int num) {
	int fin = sqrt(num);
	int ans = num;
	for (int i = 2; i <= fin; i++) {
		if (num % i == 0) {
			ans /= i;
			ans *= (i - 1);
		}
		while (num % i == 0)
			num /= i;
	}
	if (num > 1) {
		ans /= num;
		ans *= (num - 1);
	}
	return ans;
}

4、$gcd(a,b)$和$lcm(a,b)$：

$gcd(a,b)$:
1. 作用：求得$a$，$b$的所有公因数中最大的一个
2. 性质：
  1. $gcd(a,b)=gcd(b,a)$
  2. $gcd(a,b)=gcd(-a,b)$
  3. $gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|)$
  4. 若有$d|a$且$d|b$，则$d|gcd(a,b)$
  5. $gcd(a,0)=a$
  6. $gcd(a,ka)=a$
  7. $gcd(an,bn)=n\, gcd(a,b)$
  8. $gcd(a,b)=gcd(a,ka+b)$
3. 实现：辗转相除法（欧几里得算法）

int gcd(int a, int b) {
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

$lcm(a,b)$:
1. 作用：求得$a$，$b$的所有公倍数中最小的一个
2. 性质：
  1. $gcd(a,b) * lcm(a,b) = a * b $
  2. 若有$a|m$且$b|m$，则$lcm(a,b)|m$
  3. 若$m,a,b$是正整数，则$lcm(ma,mb) = m\times lcm(a,b)$。
3. 求$n$个数的最小公倍数$(n>2)$：
\[lcm(a_1,a_2)=\frac{a_1a_2}{gcd(a1,a2)} \]
\[lcm(a_1,a_2,a_3) = lcm(lcm(a_1,a_2),a_3) \]

long long lcm(const int a[], int n) {
	long long ans = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		ans = ans * a[i] / gcd(ans, a[i]);
	return ans;
}

5、互质：

定义：$\forall a,b \in N$,若$gcd(a,b)=1$，则称$a,b$互质，若$n$个整数的最大公因数是1，则称这$n$个整数两两互质。
推论：$a,b$互质$\Longleftrightarrow gcd(a,b)=1$。
性质：
1. 两个不同的质数一定是互质数
2. 一个质数，另一个不为它的倍数，这两个数为互质数。
3. $1$既不是质数也不是合数，它和任意一个自然数（除去$1$本身外）在一起都是互质的。
4. 相邻的两个自然数是互质的。
5. 相邻的两个奇数是互质的。
6. 较大数是质数的两个数是互质的。

标签：phi,frac,gcd,数论,笔记,times,互质,mod
来源： https://www.cnblogs.com/larry76/p/16623683.html

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数论笔记（1）

1、模运算的性质：

2、快速幂：

3、欧拉函数φ：

4、\(gcd(a,b)\)和\(lcm(a,b)\)：

5、互质：