一·不定方程解的个数
例:一个商场有m种颜色的小球,每种小球足够多,在这m种小球中挑选n个小球的选法有多少?
一道纯纯的数学题对吧。
由题目,我们可以知道\(\sum_{i=1}^n a[i]=n\),我们将n分成若干个1
1.解都为正整数
挑选不同颜色的小球,可理解为在这一串1里插入m-1个隔板,每个被隔开的区间即为各种颜色的各自的数量,如上图所示
所以答案为\(C_{n-1}^{m-1}\),即从n-1个间隔中插入m-1个隔板
2.解都为非负整数
我们要注意的是,某一种颜色的小球可以为0,即多个隔板可以放在同一个位置,而这种特殊情况,可以通过加1的方法消除这种情况,即每个颜色的区间里多加一个1。以下为说明:
\(\sum_{i=1}^n a[i]=n\)可以转化为\(\sum_{i=1}^n b[i]=n+m\),其中b[i]=a[i]+1。这两者是等价的对吧。所以对于第二个式子的解的个数即为答案,那么又通过1中所证,答案即为\(C^{m-1}_{n+m-1}\)
标签:隔板,颜色,答案,sum,小球,解都,排列组合 来源: https://www.cnblogs.com/kezhuo/p/16610297.html
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